Opinie

De stapfunctie

Column Iedere exponentiële functie stopt vroeg of laat, schrijft Robbert Dijkgraaf. Niets kan onbeperkt doorgroeien.

Robbert Dijkgraaf

Nu we inmiddels allemaal gediplomeerd huiskamerepidemioloog zijn, kent de exponentiële functie geen geheimen meer. Meer dan een jaar hebben we de grafieken van de stijgende aantallen besmettingen kunnen bestuderen. We ondervonden aan den lijve hoe gevaarlijk zo’n zichzelf versterkend verschijnsel is. Het begint onschuldig, met een enkel geval. Maar als, in een hypothetisch voorbeeld, het aantal besmettingen iedere dag verdubbelt, dan heb je in tien dagen duizend gevallen, na twintig dagen een miljoen, en aan het einde van de maand is bijna de gehele wereldbevolking getroffen. Zo’n versnellende groei overstijgt ieders voorstellingsvermogen.

Toch, als we wat afstand nemen — wat we nu gelukkig in vele delen van de wereld kunnen doen – rijst een ander ervaringsbeeld. Geen ongebreidelde kettingreactie, maar een bruuske overgang. Van de situatie vóór de pandemie, naar de situatie mét een pandemie. Van het vrije sociale verkeer, naar een lockdown. Van het oude normaal, naar het nieuwe normaal.

Interessant is dat we nu exact hetzelfde meemaken, maar dan in omgekeerde volgorde: een exponentieel dalende functie. Ook dit voelt als een abrupte overgang, alsof het bevroren leven ineens weer ontdooit. Hier in de Verenigde Staten, waar we een aantal weken op Europa vooruitlopen, lijkt corona een boze droom waar we even plotseling uit ontwaken als vorig jaar in wegzakten.

Kernexplosie en piramidespel

Mijns inziens zijn er minstens twee belangrijke lessen te trekken uit deze collectieve ervaring. Allereerst, iedere exponentiële functie stopt vroeg of laat. Niets kan onbeperkt doorgroeien. Uiteindelijk keert de wal het schip. Dat geldt voor de malthusiaanse catastrofe van ongeremde bevolkingsgroei en voor elk piramidespel van investeringen. Het geldt zelfs voor de kernexplosie, onder natuurkundigen het canonieke voorbeeld van een kettingreactie. Alleen een kernfysicus zal een atoombom beschrijven als een exponentieel groeiproces. Voor ieder ander is het een dramatische overgang van de situatie vóór de explosie naar de situatie erna, met alle verschrikkelijke gevolgen van dien.

Ooit was ik met een aantal natuurkundigen op bezoek bij Larry Summers, op dat moment de president van Harvard. Summers is beslist geen muurbloempje – een invloedrijk econoom, minister van Financiën onder president Clinton, moest hij uiteindelijk vanwege vrouwonvriendelijke opmerkingen zijn positie in Harvard opgeven. Die middag liet hij zien hoe met arrogante fysici om te gaan: door nog arroganter te zijn. Hij begon direct met de vraag: „Wat is het wiskundig verband tussen de windsnelheid van een orkaan en de economische schade?” Wij buitelden over elkaar met onze berekeningen. Wacht, energie schaalt met het kwadraat van de snelheid, maar wat betekent dat dan voor de schade? Summers sloot het gesprek snel kort met: „Het is een stapfunctie. Als je huis eenmaal is weggevaagd, dan maakt het niet meer uit hoeveel harder de orkaan nog gaat waaien.”

De ‘stapfunctie’ is een wiskundige uitdrukking voor een bruuske overgang, te vergelijken met de werking van een lichtschakelaar, die uit dan wel aan is. Over een termijn van dagen of weken gezien, was ook de pandemie zo’n stapfunctie. Zó liepen we vrij rond, zó zaten we thuis. Als je maar de juiste tijdschaal kiest, worden vele verschijnselen stapfuncties. Geologisch gezien waren het komen en gaan van de ijstijden of het uitsterven van de dinosauriërs abrupte overgangen.

Trage respons

Een tweede les valt te trekken uit het cruciale overgangsmoment tussen de twee permanente situaties, het relatief korte tijdsinterval tussen het oude en nieuwe normaal. Achteraf bezien, laten de landen die toen het snelst en voortvarendst ingrepen, de beste coronacijfers zien. Als je weet dat je vroeg of laat op de rem moet trappen, kun je dat beter maar meteen doen. De kunst is door te hebben dát je in een overgang zit en je vervolgens zo snel mogelijk in te stellen op de nieuwe omstandigheden. Dit loont juist wanneer de situatie nog niet ernstig lijkt, want ook de transitiekosten rijzen exponentieel. Helaas zijn mensen, organisaties en landen vaak traag in hun respons. We hechten nu eenmaal aan ons vertrouwde bestaan en blijven daar graag zo lang mogelijk in hangen. Maar tegen ongeremde groei valt niet op te boksen.

Komen er andere stapfuncties aan? Ik zou zeggen, beslist! We zitten zelfs midden in een reuzestapfunctie. Klimaatverandering is een vergelijkbaar verschijnsel van ongecontroleerde groei, in dit geval van de CO2 in de atmosfeer en de temperatuur op aarde. Alleen speelt dit zich nu niet af over dagen, maar over jaren. Een deel van onze samenleving gedraagt zich nog alsof er niets aan de hand is, terwijl het andere deel al uitgaat van het nieuwe normaal. Wanneer keert hier de wal het schip?

Misschien is dat wel de belangrijkste les die we kunnen leren uit het afgelopen jaar. Uitstel is geen afstel, maar een exponentieel groeiend verlies, uitgedrukt in mensenlevens en economische schade. Achteraf is de reactie op iedere stapfunctie hetzelfde, of het nu een Ponzi-schema, een zich snel verspreidend virus of een smeltende ijskap is: had ik maar eerder ingegrepen.

Robbert Dijkgraaf is directeur van het Institute for Advanced Study in Princeton.