Waarom is min keer min plus?

Durf te vragen Waar was je 10 seconden geleden als je 2 meter per seconde achteruit rijdt? Twintig meter vooruit!

Illustratie GOLDsquirrel

Eeuwenlang hadden mensen moeite met negatieve getallen. „Ze maken dingen duister die eigenlijk heel helder en eenvoudig zijn”, schreef de Britse advocaat en wiskundige Francis Maseres in 1758. Maseres vond dat het minteken slechts betekenis had als symbool voor het aftrekken, en dan alleen om een kleiner getal van een groter getal af te trekken – niet andersom.

Wie tegenwoordig iemand kent die negatieve getallen niet accepteert, mag het zeggen. Iedereen in Europa is gewend aan temperaturen ‘onder nul’ en aan negatieve bedragen op een bankrekening.

Met negatieve getallen kun je prima rekenen. Wie 3 bankrekeningen heeft met op elk een saldo van -4 euro, heeft een totaal saldo van 3×(-4) = -12 euro. Positief maal negatief is dus negatief.

Maar welk voorbeeld bewijst de notoire rekenregel ‘min keer min is plus’? Kan iemand met een schuld van 50.000 euro tot een vermogen van vijf miljoen komen door -50.000 met -100 te vermenigvuldigen? Wat betekent die vermenigvuldiging dan?

Peter Stevenhagen, hoogleraar wiskunde aan de Universiteit Leiden, legt het uit door eerst af te spreken wát ‘plus’ en ‘min’ eigenlijk betekenen, en dat vervolgens toe te passen op de vermenigvuldiging (-1)×(-1). „Temperaturen en eurobedragen kunnen toenemen en afnemen. Erbij is plus, eraf is min. Er zijn dus twee richtingen. Wat de plusrichting is, en wat de minrichting, is eigenlijk arbitrair. Het hangt er maar van af wat je positief vindt. Jouw debet kan mijn credit zijn, en jouw plus mijn min”, zegt Stevenhagen.

„Maar wat ‘het teken omdraaien’ betekent, begrijpt iedereen”, vervolgt hij. „In plaats van dat jouw geld naar mij toe gaat, gaat mijn geld naar jou toe. Dát is wat vermenigvuldigen met -1 betekent. Een even groot bedrag, maar in de ándere richting. Dus -1 keer een positief getal wordt negatief, en -1 keer een negatief getal positief. En als je het teken nog een keer omdraait, heb je netto niks gedaan.” Ergo: (-1)×(-1) = 1. Negatief keer negatief is positief.

Een natuurlijke richting

Stevenhagen geeft nog een ander voorbeeld, dat hij ooit hoorde van de Amerikaanse wiskundige en wetenschapsjournalist Sara Robinson. Zij ging uit van het feit dat ‘tijd keer snelheid’ gelijk is aan de afgelegde afstand. Inderdaad, wie 10 seconden loopt met een snelheid van 2 meter per seconde, legt 10×2 meter af. Stevenhagen: „De grootheden tijd en snelheid hebben een natuurlijke plus- en minrichting. Bij tijd gaat het om toekomst en verleden, bij snelheid om vooruit en achteruit.” Waar was je 10 seconden geleden als je 2 meter per seconde achteruit rijdt? Twintig meter vooruit! Ofwel: (-10)×(-2) = 20.

Wie niks van al die contexten moet hebben, kan ook met formules redeneren. Het is direct duidelijk dat 3×(4+2) hetzelfde is als 3×4 + 3×2. Algemeen: a×(b+c) = a×b + a×c. Zo’n mooie haakjesregel willen wiskundigen ook graag hebben als (sommige van) de getallen a, b en c negatief zijn. Kies je voor a, b en c de getallen -3, -4 en 4, levert dat enerzijds -3×(-4+4) = -3×0 = 0 en anderzijds, met de haakjesregel, -3×(-4+4) = -3×-4 + -3×4. Dus -3×-4 + -3×4 = 0 en omdat -3×4 gelijk is aan -12, volgt onvermijdelijk dat -3×-4 gelijk is aan 12. De formules geven precies wat de goede intuïtie dicteert.