Rekenen aan een regenboog

Wekelijks stuit in de alledaagse werkelijkheid op raadsels en onbegrijpelijke verschijnselen. Deze week: De fel gekleurde regenboog boven de Amstel bevond zich op minder dan 440 meter afstand.

Een dubbele regenboog, boven de Amstel.
Een dubbele regenboog, boven de Amstel. Foto Yanthe Cornelissen

Ziehier de regenboog die zich afgelopen zondag ontwikkelde boven de Amsterdamse Amstel. Hij is telefonisch gefotografeerd vanaf het oostelijk eind van de Nieuwe Amstelbrug en staat dus pal boven de Amsteldijk. Het had net kort geregend, maar plotseling brak de zon door. En opeens was daar die boog. Fel gekleurd, majestueus en hoog aan de hemel, want de zon stond nog laag. Het vroege verkeer aan fietsers en voetgangers kwam tot stilstand.

Adembenemend. En direct was daar de vraag: hoe zit het ook weer? Van regenbogen onthoud je het principe maar raak je de details steeds opnieuw kwijt. Waarom zijn er altijd twee regenbogen en heeft de buitenste, lichtzwakkere boog zijn kleuren binnenstebuiten? Waarom is de hemel tussen de bogen zo donker? Waar komen die dunne bijboogjes vandaan die je hoog binnen de binnenste boog ziet?

Het staat allemaal correct beschreven in het lemma ‘regenboog’ van Wikipedia en het is dus maar het beste deze volksencyclopedie er even bij te pakken. De binnenste regenboog (de ‘primaire’) vormt zich uit zonnestralen die één keer binnen de regendruppels weerkaatsten voor ze weer naar buiten braken. De boog heeft een straal van 42 booggraden. De kleuren van de buitenste, secundaire, boog hebben tweemaal weerkaatsing achter de rug. Dat benam ze veel energie en verwisselde de kleurvolgorde. In de zone tussen de primaire en secundaire boog vallen de druppels waarvan de waarnemer geen gebroken licht ontvangt, daardoor is het daar wat donkerder. En de dunne extra boogjes heten ‘overtallige bogen’ (supernumeraries), die ontstaan uit interferentie. Zie Wikipedia.

Vreemd genoeg

Marcel Minnaert beschrijft in De natuurkunde van ’t vrije veld een proef die de stralengang in de regendruppels demonstreert. Hij gebruikt er een kaars en een recht bekerglas met water voor en vergelijkt dus een cilinder met een bol. Dat doet niets af aan het principe. De proef is deze week met identieke attributen herhaald en er verscheen inderdaad een heel smal maar zeer fel spectrum zodra de hoek kaars-bekerglas-oog ongeveer 40 graden was. Vreemd genoeg vertoonden de kleuren zich eerder boven dan naast elkaar. Het zal aan onregelmatigheden in het glas hebben gelegen.

Vormde de regenboog zich afgelopen zondag wel op de juiste hoogte? Dat kun je je ook afvragen. Volgens de site suncalc.org liep de zonshoogte in Amsterdam tussen kwart over negen en half tien op van 10 tot 12 graden. Het betekent dat het ‘tegenpunt der zon’, het antisolar point, zijnde het centrum van de cirkel waar de regenboog deel van uitmaakt, zakte van 10 naar 12 graden onder de horizon. Tegen half tien kon het toppunt van de primaire boog dus niet meer dan 30 graden boven de horizon liggen. Zoiets is met eenvoudige hulpmiddelen te verifiëren, maar als je ze nodig hebt liggen die middelen meestal thuis. Op de foto zou je het kunnen schatten met de afstand tussen de primaire en secundaire boog als maat. Die afstand is 9 graden en je vindt voor de top een hoogte van ongeveer 25 graden. Niet zo mooi.

Beter is het de verhouding tussen de hoogte (h) en de halve breedte (b) van de regenboog (gemeten op de horizon) als maat te nemen. Minnaert koos die benadering om te kunnen aantonen dat de straal van de regenboog 42 graden is. Hij gebruikte formules uit de boldriehoeksmeting, maar het spel laat zich ook wel in twee dimensies spelen. Het is minder nauwkeurig, maar wat geeft dat. We vinden voor h/b ongeveer 0,65 en komen via Pythagoras wéér uit op 25 graden. We weten nu zeker dat de telefoonfoto vertekent.

Afplatting

De regenboog verscheen zondag ten westnoordwesten van de waarnemer. Ook stond er een wind die uit het westnoordwesten woei. De bui waarin al die mooie kleuren ontstonden kwam dus de kant van de waarnemer op. Dat hij boordevol grote druppels zat stond vast; daar wezen de goed ontwikkelde kleuren op. Des te nijpender was dus de vraag hoe ver weg hij was. ‘Ze zijn meestal dichterbij dan je denkt’, schrijft Minnaert, die er weleens een op twintig meter afstand had. Enig gevoel voor de afstand krijg je door afwisselend met het linker- en rechteroog naar zo’n boog te kijken. Verspringt het beeld sterk dan is hij vlakbij. In het onderhavige geval had je ook kunnen bedenken dat de wolkenbasis op ongeveer 350 meter lag (temperatuur 12 graden, dauwpunt 9 graden). De top van de secundaire boog lag op minstens 39 graden en daaruit valt af te leiden dat de bui niet verder dan 440 meter weg was. Het stemt overeen met de waarneming dat de regenboogkleuren zich vóór de huizen aan de Amsteldijk manifesteerden.

En zo, lezer, valt er nog veel meer te rekenen aan regenbogen. Al doende zou je bijna vergeten dat er in al die regenboogberekeningen altijd van wordt uitgegaan dat regendruppels volmaakt bolvormig zijn. Bij nader inzien blijkt dat alleen te gelden voor de kleinste druppels, de druppels met diameters onder de drie millimeter. De grotere druppels raken tijdens het vallen flink afgeplat, daar is de laatste jaren veel aandacht voor, met het oog op de interpretatie van radarbeelden. Hoe de afplatting de kleurvorming beïnvloedt, wilde deze week niet helemaal duidelijk worden. Wikipedia zweeg erover.