Hoe priemgetallen kunnen eindigen

Wiskunde In de laatste cijfers van priemgetallen zit een diepe wetmatigheid, ontdekte een jonge, Britse wiskundige.

Beeld Brazzo

7, 17, 37, 47, 67, … zomaar wat priemgetallen – getallen die slechts deelbaar zijn door 1 en zichzelf. Meer dan tweeduizend jaar geleden bewees Euclides al dat er oneindig veel van bestaan. Godfrey Harold Hardy, een invloedrijke Britse wiskundige uit de eerste helft van de vorige eeuw, zei over dit bewijs van Euclides: „belangrijk, maar het heeft niet veel diepgang”. Hij bedoelde dat je er niet meer voor hoeft te kunnen dan vermenigvuldigen en delen.

Om andere vragen over de priemgetallen te beantwoorden, moeten wiskundigen dieper graven. Ze hebben abstracte concepten nodig, zoals modulaire rekenkunde, die er in de tijd van Euclides nog niet waren. Zonder hen staat de getaltheoreticus machteloos tegenover vragen zoals: zijn er oneindig veel priemgetallen met eindcijfer 7, zoals de priemgetallen aan het begin van dit stuk? Het antwoord op deze vraag luidt ‘ja’, dankzij een stelling van Johann Dirichlet uit 1837.

Nog een vraag: is de 7 als eindcijfer over- of misschien ondervertegenwoordigd? Of komen alle cijfers ongeveer even vaak voor? Dat laatste sowieso niet: omdat een priemgetal geen veelvoud is van 2 of 5, moet het eindcijfer van een priemgetal met meer dan één cijfer 1, 3, 7 of 9 zijn. Maar wie lijstjes met priemgetallen bekijkt, zal opmerken dat de 1, 3, 7 en 9 elkaar in aantal niet veel ontlopen. Van de 143 driecijferige priemgetallen komen de 1 en 3 allebei 35 keer voor als eindcijfer, de 7 tref je 40 keer aan en de 9 komt 33 keer voor.

Wortelbarrière

James Maynard, een 33-jarige wiskundige van de universiteit van Oxford en dit jaar winnaar van de Cole Prize voor getaltheorie, zette in juni drie preprints online (op arXiv.org) – samen 216 pagina’s. Daarin onderzoekt hij of een soortgelijke wetmatigheid geldt als je niet enkel naar het laatste cijfer kijkt, maar naar grotere groepen eindcijfers.

Neem bijvoorbeeld alle priemgetallen die uit tien cijfers bestaan en verdeel ze in groepen waarbij de laatste twee cijfers per groep steeds hetzelfde zijn. Elke groep zal dan ongeveer even groot zijn. Hetzelfde geldt als je groepeert op grond van de laatste drie cijfers, of vier cijfers. Maar bij vijf? Dat blijkt een kritieke grens. Het aantal groepen waarover de tiencijferige priemgetallen dan verdeeld worden, wordt zo groot dat ze qua grootte veel variatie gaan vertonen. Wiskundigen noemen die kritieke grens de ‘wortelbarrière’, een berucht technisch obstakel dat zijn naam dankt aan het feit dat het aantal cijfers van een getal twee keer zo groot is als het aantal cijfers van zijn wortel.

Hoewel nog onbewezen, verwachten getaltheoretici dat als gegroepeerd wordt op grond van de laatste k cijfers bij priemgetallen die uit méér dan 2 maal k cijfers bestaan, de groepsgroottes ongeveer gelijk zijn. Het bijzondere van Maynards resultaat is dat de priemgetallen vaak aan een wetmatigheid blijken te voldoen die veel minder voor de hand ligt, namelijk dat ze ook bij een lengte van mínder dan 2 maal k cijfers in gelijke aantallen voorkomen.

Zwakte in onze technieken

In een e-mail aan deze krant schrijft Maynard: „De wortelbarrière zegt dat veel bekende technieken die prima werken bij priemgetallen met méér dan het dubbele aantal cijfers ineens totaal onbruikbaar zijn bij priemgetallen met mínder dan het dubbele aantal cijfers. Dat wijst op een zwakte in onze huidige technieken.” De Brit heeft die technieken nu uitgebreid en daarmee de wortelbarrière naar eigen zeggen ‘doorbroken’.

Frits Beukers, emeritus hoogleraar wiskunde aan de Universiteit Utrecht, zegt over de tak van wiskunde waarin Maynard werkzaam is – analytische getaltheorie – dat technische vaardigheid, creativiteit en volharding er een belangrijke rol in spelen. „Duivelskunst”, aldus Beukers.

Luister ook: Priemgetallen: onkruid op de getallenlijn

In de preprints van Maynard gaat het om verbeteringen van een stelling van Enrico Bombieri en Askold Vinogradov, uit de jaren zestig van de vorige eeuw. Beukers: „De ontwikkelingen op dit terrein gaan tergend langzaam. Maar toch weten sommige mensen weer nieuwe wegen te vinden, zelfs als de zaak hopeloos lijkt.”

Maynard is zo iemand. Hij heeft iets bewezen dat dieper gaat dan de Riemannhypothese, het belangrijkste onopgeloste vraagstuk in de wiskunde, over de verdeling van priemgetallen. „De Riemannhypothese is maar het topje van een ijsberg. Er zijn verstrekkende generalisaties van deze hypothese en er zijn vragen over de priemgetallen waar de Riemannhypothese geen antwoord op geeft”, zegt Maynard. De wiskunde is nog niet rijp genoeg voor een bewijs van dit notoir moeilijke probleem, maar Maynard heeft in de 216 pagina’s van zijn drie nieuwe artikelen laten zien dat de wiskunde die daaraan voorbij gaat kennelijk geen lange donkere tunnel is waar in de verste verte geen licht te zien is.