Walter van Suijlekom heeft allerlei soorten trommels bespeeld, allemaal met een eigen klank.

Foto Roger Cremers

Interview

De wiskundige die hoort hoe iets eruitziet

Walter van Suijlekom | mathematisch fysicus Kun je de vorm van een trommel horen? Nee, zeiden wiskundigen in 1992. Maar het blijkt toch te kunnen, op een andere manier.

Mathematisch fysicus Walter van Suijlekom begon op zijn zevende met het spelen van slagwerk. Sindsdien heeft hij allerlei soorten trommels bespeeld, allemaal met een eigen klank. Jaren later kruisten zijn hobby en het onderzoeksgebied waarin hij werkzaam is elkaar. In 2005, Van Suijlekom was toen postdoc aan het Max Planck Instituut in Bonn, hoorde hij voor het eerst van een artikel van Mark Kac uit 1966, getiteld: Can One Hear the Shape of a Drum? Preciezer geformuleerd: leggen de geluidsfrequenties die ontstaan door het vibreren van een trommelvel de vorm van die trommel eenduidig vast?

In 1992 bewezen drie wiskundigen dat het antwoord op Kac’ vraag ontkennend is. Dat drietal vond twee verschillende trommelvormen die in klank niet te onderscheiden zijn. De afgelopen twee jaar heeft Van Suijlekom, tegenwoordig verbonden aan de Radboud Universiteit Nijmegen, zich in Kac’ vraag verdiept, samen met de beroemde Franse wiskundige Alain Connes. Hun conclusie is dat je de vorm van een trommel wél kunt horen, en zelfs goed kunt benaderen als je slechts een deel van de geluidsfrequenties kent. Het leidde tot een publicatie vorige maand in Communications in Mathematical Physics.

Hebben jullie die conclusie uit 1992 onderuitgehaald?

„Nee. Kac’ trommel is een ideale weergave van een trillend membraan waarbij alle wrijving en externe factoren worden weggelaten. Zijn vraag was of je de vorm kunt achterhalen als je álle frequenties kent, ook die we niet kunnen horen. In 1992 is bewezen dat er verschillende vormen bestaan die hetzelfde spectrum geven. Dat betekent dat ze precies hetzelfde geluid geven. Het spectrum alléén is dus niet voldoende om de vorm van de trommel te kunnen horen. Onze insteek is anders. We gaan uit van slechts een deel van het spectrum. Bovendien voegen we nog iets toe. Het blijkt dat je Kac’ vraag dan wél bevestigend kan beantwoorden.”

Je laat een klein stukje van het vel trillen, vervolgens schuif je een stukje op en laat je dat deel trillen

Wat is dan die toevoeging?

„We kijken naar coördinaten, die ons in staat stellen om lokaal te luisteren. Dan kun je de vorm als geheel uit het trillingsspectrum reconstrueren. Denk aan het stemmen van een paukenvel. Dat doe je door lokaal naar de klank te luisteren. Je laat een klein stukje van het vel trillen, vervolgens schuif je een stukje op en laat je dat deel trillen. Zo tast je het hele trommelvel lokaal af. De combinatie van de trillingen en het gebruik van coördinaten, het lokale aspect, maken dat je de hele vorm kunt herleiden.”

Jullie paper staat vol jargon. De woorden ‘shape’ en ‘drum’ komen er helemaal niet in voor.

„De vraag van Kac is een metafoor voor een abstract wiskundig probleem. Je kunt ook een bolvorm of iets als een donut laten trillen. In de wiskunde doen we dit heel algemeen. In de Riemannse meetkunde werken we met ruimtes die we lokaal met coördinaten beschrijven. Bijvoorbeeld, in twee dimensies heb je een x- en een y-coördinaat die de plaats van een punt vastleggen. In de meetkunde die wij doen, de zogeheten niet-commutatieve meetkunde, zijn coördinaten geen gewone getallen meer, maar bijvoorbeeld matrices of gewoon abstracte symbolen.”

En wat heeft dit nu weer te maken met Kac’ metafoor?

„Bij die trommelmetafoor gaat het om een auditief spectrum. Ons onderzoek gaat om spectra in zijn algemeenheid. Het zijn eigenlijk allemaal trillingen, die door golfvergelijkingen worden beschreven.”

Van Suijlekom is zich ervan bewust dat hij jargon moet vermijden, maar laat in een bijzin begrippen als ‘helmholtz-’, ‘laplace-’ en ‘diracvergelijking’ vallen.

Het hoeft helemaal niet om een trillend trommelvel te gaan

„Om wat voor trillingen het gaat, maakt voor ons niet uit. Het hoeft helemaal niet om een trillend trommelvel te gaan. De centrale vraag voor ons is: als je maar een deel van het spectrum hebt, kun je dan, in combinatie met coördinaten die de ruimte die trilt beschrijven, de vorm achterhalen? Wij ontwikkelen de wiskunde die daarachter ligt.”

Het is dus meer wis- dan natuurkunde?

„Zeker. Het staat niet eens in dienst van de natuurkunde. Mathematische fysica ís wiskunde, geïnspireerd en gemotiveerd dóór de natuurkunde. Natuurkundigen hebben een ander waardeoordeel: zij verifiëren of falsificeren iets met een experiment. Bij ons is de wiskunde dicterend, het gaat om harde bewijzen.”

Als je natuurkundigen er geen dienst mee bewijst, waar is dit werk dan goed voor?

„De theorie die wij gebruiken is heel breed. Functionaalanalyse, Riemannse meetkunde, maar het heeft ook toepassingen in de getaltheorie. De getaltheorie heeft een heel puur karakter, maar het blijkt dat onze meetkunde gebruikt kan worden om stellingen in de getaltheorie te bewijzen.”

Kun je, ondanks de abstractie, toch een toepassing noemen, zoals Kac’ trommel?

„Denk bijvoorbeeld aan het higgsdeeltje, dat in 2012 werd gevonden. Wat is de vorm die bij dat deeltje hoort? De deeltjesversneller in CERN meet ook maar met een bepaalde bandbreedte. Dus ook daarvoor geldt dat je eigenlijk maar een deel van het hele spectrum hebt. Je kunt dan weer dezelfde vraag stellen: valt de vorm te reconstrueren? Daar kun je dus iets zinnigs over zeggen.”

Een fantastische plek. Samen overleggen, dingen op het bord aan elkaar uitleggen, heel inspirerend

Als je geen experimenten doet, hoe ziet onderzoek doen er dan uit voor jou? Zitten met pen en papier?

„Ja, of met krijt voor een bord. En interactie is heel belangrijk. De boost van dit onderzoek was in januari, februari, net voordat alles op slot ging. Ik was toen op bezoek op IHES, het instituut net buiten Parijs waar Alain Connes werkt. Een fantastische plek. Samen overleggen, dingen op het bord aan elkaar uitleggen, heel inspirerend. Maar soms is het ook goed om geen bord te hebben, omdat je dan de technische details even weg kunt laten. Dan zaten we samen in café Balzac in Parijs.”

Alain Connes won in 1982 een Fieldsmedaille. Hij is nu 73 jaar. Hoelang ken je hem al?

„Ik ontmoette Connes voor het eerst in 2005, het jaar waarin ik promoveerde. Hij zat als aandachtige luisteraar in het publiek bij een lezing die ik gaf. In de jaren daarna was ik meerdere keren bij hem op bezoek en sinds zeven jaar werk ik ook echt met hem samen. Zijn brein is nog in uitstekende staat.”

Als het aan het eind van het gesprek nog even gaat over de ‘toepassing’ van de theorie voor slagwerkers, vertelt Van Suijlekom over een ‘geheime wens’. Zijn ogen beginnen te twinkelen. „Het lijkt me erg leuk om ooit met een slagwerkbouwer twee marimba’s te bouwen. Eén met driehoekige toetsen, één met vijfhoekige. Van precies hetzelfde materiaal, en even zwaar, zodat daar de klank niet van kan afhangen. Maar dat je tóch een verschillende sound krijgt als je er op slaat. Maar dat is iets voor later.”