Abelprijs gaat naar toepassing van ‘dronkenmansloop’ op hogere wiskunde

Wiskunde Hillel Furstenberg en Gregory Margulis verbonden de kansrekening met getaltheorie. Daarvoor krijgen ze de Abelprijs, de ‘Nobelprijs’ voor wiskunde.

De Israëlisch-Amerikaanse wiskundige Hillel Furstenberg thuis in Jeruzalem, maart 2020, na het winnen van de Abelprijs.
De Israëlisch-Amerikaanse wiskundige Hillel Furstenberg thuis in Jeruzalem, maart 2020, na het winnen van de Abelprijs. Foto MENAHEM KAHANA / AFP

Vanuit zijn huis maakte Hans Petter Graver, president van de Noorse Academie van Wetenschappen en Letteren, vorige week de laureaten van de Abelprijs 2020 bekend. Hillel Furstenberg (1935) en Gregory Margulis (1946) krijgen de prijs, een bedrag van 7,5 miljoen Noorse kronen – nu ruim 600.000 euro, voor de coronacrisis nog 750.000 euro – voor hun toepassingen van probabilistische methoden op gebieden die ver van de gewone kansrekening staan. De Britse wiskundige Alex Bellos lichtte, eveneens vanuit huis, het werk van de winnaars toe. De toespraken waren op 18 maart via een livestream te volgen. De feestelijke ceremonie die voor 19 mei gepland stond, is afgelast.

In de eerste helft van de twintigste eeuw nam de kansrekening een enorme vlucht. Het vakgebied ontwikkelde zich tot een discipline die op een steeds abstractere manier werd bedreven. Zo werd onder meer de zogeheten ‘dronkenmanswandeling’ in hogere dimensies bestudeerd. Wie zich in één dimensie beweegt, kan alleen maar vooruit of achteruit. Een dronkenmanswandeling in één dimensie is een route die op een lijn wordt afgelegd, waarbij de route door een reeks muntworpen wordt bepaald. Bij ‘kop’ ga je een stap naar voor, bij ‘munt’ een stap naar achteren. Een typische vraag die een wiskundige zich stelt is dan: hoe groot is de kans dat je ooit weer op je beginpunt terechtkomt? Die kans blijkt 100 procent te zijn, mits de munt zuiver is. Niet zo gek, als je bedenkt dat je met een kans van 50 procent al na twee stappen (‘kop-munt’ of ‘munt-kop’) weer terug bij af bent. Toch duurt het gemiddeld genomen heel erg lang voor je weer op je startpunt staat. De theoretische verwachtingswaarde van het aantal benodigde muntworpen om terug te keren is zelfs oneindig.

Op een tweedimensionaal rooster – er zijn dan vier richtingen waarin je je kunt bewegen: noord, oost, zuid, west – is de kans om ooit weer op het beginpunt uit te komen eveneens 100 procent. Maar in drie dimensies, als ook de richtingen ‘naar boven’ en ‘naar beneden’ erbij komen, is die kans maar 34 procent. Zoals de Japanse wiskundige Shizuo Kakutani het ooit formuleerde: ‘Een dronken man zal zijn weg naar huis vinden, maar een dronken vogel kan voor altijd verloren gaan.’

Voeg je een denkbeeldige vierde dimensie toe, zodat het aantal richtingen met nog eens twee toeneemt, is de kans dat een dronkaard ooit weer bij zijn beginpunt uitkomt ruim 19 procent. Met het toenemen van het aantal dimensies neemt de terugkeerkans steeds verder af: in acht dimensies is die kans nog maar 7 procent.

Toevalswandelingen

Dergelijke ‘toevalswandelingen’ kennen vele toepassingen. Ze verklaren bijvoorbeeld wetmatigheden uit de populatiegenetica, en in de economie worden ze gebruikt bij het modelleren van de prijzen van aandelen. Maar dat het gedrag van toevalswandelingen diepe eigenschappen in de meest abstracte deelgebieden van de wiskunde kon verklaren, had tot in de jaren zestig van de vorige eeuw niemand voor mogelijk gehouden. Furstenberg en Margulis hebben nooit samengewerkt, maar bouwden elk afzonderlijk een brug naar de mathematica in zijn puurste vorm.

Groepentheorie is de ‘taal’ waarin symmetrieën worden beschreven. Een vierkant, bijvoorbeeld, heeft acht symmetrieën. Je kunt hem spiegelen in de twee diagonalen of in de verticale lijn door het midden of in de horizontale lijn door het midden. Ook kun je hem roteren over 90, 180 of 270 graden. Tot slot kun je het vierkant onaangeroerd laten. Deze acht transformaties vormen de ‘symmetriegroep’ van het vierkant. De symmetriegroep van een object specificeert de symmetrische kenmerken ervan. Dat object hoeft geenszins voorstelbaar te zijn – groepentheoretici bestuderen vooral de symmetriegroep van hogerdimensionale objecten. Eind negentiende eeuw bestudeerde de Noor Sophus Lie objecten met continue rotatiesymmetrieën, zoals de bol in onze vertrouwde driedimensionale wereld. In hogere dimensies vormen zulke symmetrieën ‘Liegroepen’. In de twintigste eeuw waren nog lang niet alle eigenschappen van zulke groepen bekend. Met de theorie van toevalswandelingen konden Furstenberg en Margulis de groepenstructuur in kaart brengen. Dat was spectaculair: nooit eerder werden stellingen uit de kansrekening toegepast op een deelgebied van de wiskunde dat niets met toeval van doen heeft.

Ook in de getaltheorie heeft door dit werk van de Abelprijswinnaars de kruisbestuiving met kansrekening zijn vruchten afgeworpen. Enkele maanden geleden nog publiceerde de wiskundige Terence Tao een resultaat waarmee hij met probabilistische methoden een belangrijke stap zette in de richting van een bewijs van het notoir moeilijke ‘Collatz-vermoeden’, een beroemd open probleem in de getaltheorie. „Beide wiskundigen hebben mijn eigen werk beïnvloed”, schrijft Tao over de Abelprijslaureaten op zijn blog.