Exponentiële groei inzichtelijk gemaakt

Wekelijks stuit Karel Knip in de alledaagse werkelijkheid op raadsels en onbegrijpelijke verschijnselen.

Deze week: inzicht in de stijgende lijn van besmettingen.

Een dringende mail over de coronacrisis van David Lentink uit Californië. „De Nederlandse kranten informeren hun lezers niet goed”, schrijft hij. „Ze brengen de ernst van de situatie niet goed in beeld. De grafieken die ze publiceren laten niet zien hoe constant de uitbreiding van het aantal besmettingen is.

„Breng de lezer toch het volgende simpele inzicht bij: elke tien dagen wordt de situatie ruwweg tien keer zo erg. Dat geldt voor bijna alle landen van Europa. Na twintig dagen is het honderd keer zo erg. Als je het op die manier formuleert kan iedereen het onthouden. Bekommer je niet om details.”

Lentink, verbonden aan Stanford University, is bekend van publicaties in onder meer Nature en Science. Hij is ingenieur en bioloog. Maar: „De combinatie van grafisch ontwerp, data-interpretatie en wetenschapscommunicatie is mijn specialiteit.”

Zwaar communicatieprobleem

In de ‘exponentiële’ groei van het aantal coronabesmettingen ziet Lentink net zo’n zwaar communicatieprobleem als – vijftig jaar geleden – Paul Ehrlich (The Population Bomb) en Dennis Meadows (The Limits to Growth) dat hadden met de exponentiële groei van de wereldbevolking. De meeste mensen missen elke intuïtie voor de effecten van dit type groei.

Wat is exponentiële groei? Meadows gebruikte een vrek om zich te verduidelijken. Een vrek die elk jaar tien gulden onder zijn matras stopt ziet zijn vermogen lineair groeien, schreef hij. De vrek die zijn vermogen onder zijn matras vandaan haalt en tegen 7 procent rente belegt (het was 1970) ziet zijn vermogen exponentieel groeien. Dat gaat steeds harder en harder. Het constante groeipercentage is het wezen van exponentiële groei.

Een populatie van 100 muizen die per week met 20 procent toeneemt bestaat na 13 weken uit 1.000 muizen. Het is verhelderend om het eens week voor week uit te rekenen en in een grafiek te zetten. De uitkomst voor elke nieuwe week vind je door de vorige uitkomst met 1,2 te vermenigvuldigen. Zo verandert 100 in 120 in 144 in 173 en 207 enzovoort. Doe het!

Ze lijken allemaal op elkaar

Je hebt niets aan grafieken van exponentiële ontwikkelingen. Ze lijken allemaal sprekend op elkaar en altijd lijken de meest recente ontwikkelingen het meest verontrustend (maar dat leek eerder ook al zo). Je kunt de komende gebeurtenissen nauwelijks voorspellen en je kunt al helemaal niet zien of de toenames wel volgens een vast percentage ontstaan.

Inzichtelijker worden de waarnemingen als je ze logaritmisch in een grafiek uitzet – dit is het moeilijkste deel van de communicatie. Het rekenkundige trucje is niet makkelijk uit te leggen maar komt erop neer dat je in je grafiek de afstand tussen 10 en 100 muizen even groot maakt als tussen 100 en 1.000 muizen of 1.000 en 10.000 muizen.

Essentieel: de logaritmische voorstelling van zaken verandert de kromme lijnen van exponentiële ontwikkelingen in zuivere rechte lijnen (die meer of minder schuin omhoog lopen) als het genoemde percentage echt constant was. Het percentage laat zich makkelijk uit de richting van de lijnen afleiden en er zijn heel makkelijk voorspellingen te doen.

Rechttoe rechtaan

Afgelopen week zijn de waarnemingen aan coronabesmettingen in een aantal Europese landen op deze manier logaritmisch uitgezet. Meestal worden ze gewoon rechttoe rechtaan weergegeven zoals elk normaal mens dat zou doen. Maar dat levert dus grafieken op met een verzameling steeds hogere punten waar je niets wijzer van wordt. De logaritmische plot, zoals hier op het plaatje voor Nederland en Italië vanaf 1 maart, was een eyeopener.

In veel landen om ons heen blijkt sprake van een zuiver exponentiële groei met een constant groeipercentage. Dit percentage is inmiddels, interessant genoeg, in veel landen hetzelfde en ligt gemiddeld zo rond de 21 procent per dag, zelfs in Italië. Het zal te maken hebben met de Europese stedenbouw, samenlevingsvormen, leeftijdopbouw en natuurlijk met het karakter van het virus. Spanje springt eruit met een veel hoger percentage (tot een paar dagen geleden 39 procent per dag).

Twee weken vertraging

Een groei in het totaal aantal besmettingen van 21 procent per dag komt neer op een vertienvoudiging in 12 dagen – de vuistregel van Lentink zet het gevaar dus iets te zwaar aan, hij beschrijft in feite de situatie van twee weken geleden toen de corona-uitbreiding iets harder ging. Uit de overeenkomst in de waarnemingen van Nederland, Engeland, Frankrijk, Duitsland en Italië leid je af dat de metingen echt betekenis hebben, ook al weten we dat het grootste deel van de besmettingen gemist wordt. Vermoedelijk is dat een vaste fractie.

Dat de Nederlandse ontwikkelingen met ruwweg twee weken vertraging het patroon volgen van Italië, zoals eerder beweerd, blijkt te kloppen – wat natuurlijk niet wil zeggen dat dit zo blijft.

Zó constant is de groei die de logaritmische plot laat zien dat de buitenstaander het waagt een voorspelling te doen over de toestand waarin Nederland over twaalf dagen zal verkeren – hoe onwetenschappelijk dat ook is. De ervaring heeft geleerd dat de effecten van beheersmaatregelen niet binnen één à twee weken zichtbaar worden. Het valt niet uit te sluiten dat er op 1 april zo’n 25.000 bevestigde besmettingen zullen zijn. Als 5 procent daarvan een ic-bed nodig heeft, wordt de normale ic-capaciteit net overvraagd, maar er blijkt gelukkig uitbreiding mogelijk tot wel 2.000 ic-bedden. Dat het toch ingewikkeld wordt vóór het twaalf dagen later Pasen is, staat wel vast.

Lees ook: Waarom verschilt de aanpak zo per land? En 33 andere vragen over het coronavirus