Recensie

Recensie

Kunst door wiskundige formules

Boekrecensie De Amerikaanse wiskundige Robert Bosch maakt indrukwekkende kunstwerken met behulp van schaakregels, dominostenen, lijnen en Truchet-tegels.

Beeld Robert Bosch, bewerking NRC

‘Hoe meer beperkingen je jezelf oplegt, hoe meer je jezelf bevrijdt”, zei Igor Stravinsky ooit. Het is een van de favoriete quotes van Robert Bosch, wiskundige van het Oberlin College in de Amerikaanse staat Ohio. Bosch staat bekend om zijn uit de hand gelopen hobby: bestaande afbeeldingen volgens strikte spelregels omzetten in lijntekeningen of mozaïeken die gemaakt zijn van een bepaald soort tegels.

Bosch legt zichzelf daarbij allerlei extra beperkingen op. Daardoor wordt het een wiskundige puzzel om een afbeelding zo goed mogelijk na te maken. Over de optimalisatietechnieken om afbeeldingen volgens strikte regels na te bootsen, is nu het boek Opt Art verschenen.

Mooie plaatjes zijn bijvoorbeeld de mozaïeken van Johannes Kepler en van Vincent van Goghs schilderij De sterrennacht, gemaakt van tegels die een variatie vormen op de zogenaamde Truchet-tegels, met een patroon dat niet draaisymmetrisch is: na draaiing over een hoek kleiner dan 360 graden ziet het patroon er nooit hetzelfde uit als ervoor. Wiskundig is dit echter niet het boeiendste wat het boek te bieden heeft, want de bijbehorende optimaliseringsproblemen zijn relatief simpel.

Interessanter zijn de illustraties die uit één lange lijn bestaan, zoals de lijntekening van de Mona Lisa, waarbij 100.000 punten met elkaar worden verbonden volgens de regels van het handelsreizigersprobleem. Daarbij gaat het erom een gegeven aantal steden allemaal precies één keer te bezoeken, waarbij de afgelegde afstand minimaal moet zijn.

Eén lange lijntekening

In 2015 maakte Bosch voor NRC een portret van Máxima op roosterpapier. De beperkingen: het portret is één lange lijntekening langs de roosterpunten, waarbij elk roosterpunt precies één keer wordt bezocht en waarbij twee punten alleen met elkaar verbonden mogen worden als ze, in schaakjargon, een ‘koningszet’ of een ‘paardensprong’ van elkaar vandaan liggen. Dergelijke schaakontwerpen komen ook in Opt Art aan bod, al zijn de plaatjes daar niet zo spectaculair als die NRC-pagina uit 2015.

Portret van Barack Obama met 2.420 dominostenen. Illustraties Robert Bosch

Origineel zijn Bosch’ dominomozaïeken, die niet zómaar uit dominostenen bestaan, maar uit complete sets van dominostenen. Eén set bevat 55 dominostenen – minimaal twee keer nul stippen, maximaal twee keer negen stippen. Voor het mozaïek van Barack Obama gebruikte Bosch 44 complete sets. Simpel is het niet om de achterliggende wiskunde te begrijpen. Het Obama-optimaliseringsprobleem heeft 953.700 variabelen en 4.895 randvoorwaarden. Bosch’ computer had 15 seconden nodig om de optimale oplossing te vinden. Dat is niets vergeleken met een van de vele mozaïeken die Bosch maakte van acteur Boris Karloff als het monster van Frankenstein: tien uur computerrekentijd.

De verbluffendste mozaïeken van Bosch zijn geïnspireerd op Life, een ‘spel’ dat de Britse wiskundige John Conway in 1970 ontwierp. Neem een (oneindig) rooster van vierkantjes en teken in sommige vierkantjes een zwart rondje – dit zijn de ‘levende’ cellen. Pas nu consequent en gelijktijdig de volgende regels toe: een dode cel waarvan precies drie van de acht buurcellen levend zijn, wordt levend. Een levende cel waarvan precies twee of drie van de acht buurcellen levend zijn, blijft levend. Alle andere cellen gaan (of blijven) dood.

Repeterend, stabiel of chaotisch

Pas je deze regels herhaald toe, dan ontstaat een patroon: groeiend, glijdend, repeterend, stabiel of chaotisch – afhankelijk van de beginsituatie. Bosch ontwierp tegels die met de Life-regels constant gelijk blijven en tegels die periodiek zijn met periode twee: na twee keer de Life-regels te hebben toegepast, is het beginpatroon weer zichtbaar. Het ontwerpen van zulke tegels was een grote uitdaging; Bosch’ computer was meerdere dagen non-stop aan het rekenen.

De ‘animatie’ van de rennende kat baseerde Bosch op foto’s van Eadweard Muybridge, die er als geen ander in slaagde bewegende dieren in beeld te brengen. Pas je Conways Life-regels toe, dan gaan het linkerbeeld van de rennende kat over in het rechterbeeld, en vice versa. Een noest staaltje rekenkunst.

Opt Art is niet vrij van formules, maar afschrikwekkend zien die er niet uit. De illustraties zijn prachtig, en tussendoor steek je nog wat op van de simplexmethode, het branch-and-bound-algoritme, Bézierkrommen en de stelling van Jordan.