Wiskundig probleem: hoe sla je een worm in één keer plat?

Een regenworm is precies één decimeter lang. Wat is de kleinste vorm waarmee je de regenworm altijd kunt overdekken, ongeacht hoe hij zich heeft gekronkeld?

Deze puzzel werd in 1963 door Leo Moser voorgelegd aan de aanwezigen van een wiskundecongres in Boulder, een stad in de Amerikaanse staat Colorado. Mosers worm is er een van het type waarvan wiskundigen houden: hij heeft geen dikte. Het gaat dus eigenlijk gewoon om een al dan niet gekromd lijntje van lengte 1.

Toen Moser in 1970 op 48-jarige leeftijd overleed, bleef de wiskundige gemeenschap achter met een door hem opgestelde lijst van vijftig problemen. Het wormprobleem was nummer negen en is tot op de dag van vandaag onopgelost.

Recent is er wél een knap deelresultaat geboekt. In 1973 vermoedde John Wetzel (University of Illinois, Urbana-Champaign) dat je met een ‘taartpunt’ uit een cirkel met straal 1 en een hoek van 30 graden elke worm van lengte 1 kunt overdekken. Van dit vermoeden zijn nu, onafhankelijk van elkaar, twee verschillende bewijzen geleverd. Het ene is afkomstig van Chatchawan Panraksa (Mahidol University, Bangkok) en Wacharin Wichiramala (Chulalongkorn University, Bangkok), het andere van Yevgenya Movshovich (University of Illinois).

Vijftig vraagstukken

In de wiskundige literatuur duikt het probleem in verschillende contexten op. Zo is er de architectenversie: wat is het grondoppervlak van het kleinste huisje waarin een worm comfortabel kan leven, de lieftallige variant: wat is het kleinste dekentje waarmee je een worm altijd van kop tot staart kunt toedekken, en de sadistische lezing: wat is de minimale vorm van de kop van een hamer waarmee je een worm met één mep geheel kunt platslaan?

De worm kan op ontelbaar veel manieren liggen en daarom is het zo moeilijk om het probleem te overzien. Verder: worden er eisen opgelegd aan de vorm die de worm moet overdekken? Iemand die over het probleem nadenkt, gaat zich bijvoorbeeld afvragen of er gaten in die vorm mogen zitten. Moser zei daar zelf niets over. Hij dekte zich in door boven zijn lijst van vijftig vraagstukken de titel ‘Poorly formulated unsolved problems of combinatorial geometry’ (‘Slecht geformuleerde onopgeloste problemen uit de combinatorische meetkunde’) te zetten.

Meestal gaat men ervan uit dat de vorm convex moet zijn. Een figuur heet convex als elk recht lijnstuk waarvan de eindpunten binnen die figuur liggen, geheel binnen de figuur ligt. Er zijn dan dus geen ‘inhammen’ en geen gaten. Uit de zogeheten ‘selectiestelling’ van de Oostenrijker Wilhelm Blaschke (overigens een overtuigd nazi) volgt dat het wormprobleem onder deze voorwaarde een oplossing heeft. Zonder de eis dat de vorm convex moet zijn, is die garantie er niet. Bij niet-convexe overdekkingen gaat de zogeheten ‘fractale meetkunde’ een rol spelen. Het probleem wordt dan nóg lastiger.

Een hele cirkel met diameter 1 kan elke worm van lengte 1 overdekken. Waarom? Leg het centrum van de cirkel op het middelpunt van de worm. De afstand van dit middelpunt tot elk ander punt op de worm is hooguit 0,5. Omdat de cirkelstraal eveneens 0,5 is, wordt de hele worm door die cirkel afgedekt.

Oneindig veel manieren

Ook de helft van een cirkel met diameter 1 kan elke worm van lengte 1 overdekken. Het bewijs daarvan, rond 1970 gevonden door Aram Meir, staat in het kader. Een halve cirkel met diameter 1, ofwel straal 0,5, heeft oppervlakte π/8, afgerond 0,3927.

De taartpunt van Wetzel is anderhalf keer zo klein: de oppervlakte is π/12, afgerond 0,2618. In 1973 stelde Wetzel proefondervindelijk vast dat deze vorm groot genoeg is om elke worm van lengte 1 te overdekken. Maar ‘proefondervindelijk’ telt niet in de wiskunde. Een worm kan zich immers op oneindig veel manieren kronkelen. Dat de worm in élke ligging overdekt kan worden, kun je niet empirisch vaststellen. Ooit dacht men ook dat een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden (3 + √3)/9 en (1 +√3)/3 (waarvan de oppervlakte iets minder dan 0,24 is) elke worm kan overdekken. Tot een gepensioneerde medewerker van de Technische Universiteit Eindhoven in 2000 een worm vond waarvan altijd een stukje onbedekt blijft: de worm bestaande uit drie even lange zijden (lengte 1/3) van een gelijkbenig trapezium met basishoeken van 91 graden – een beetje zoals een schreefloze hoofdletter A waarvan het deel boven het horizontale streepje is verwijderd.

Er is een streng wiskundig bewijs nodig dat de taartpunt van Wetzel echt élke worm kan overdekken. Dat bewijs is nu dus geleverd. Panraksa en Wichiramala deelden het probleem op in vier verschillende gevallen. Voor elk gaven ze een sluitende redenering, gebruikmakend van stellingen uit de meetkunde. Movshovich gebruikte een andere, meer analytische aanpak.

Beide bewijzen bevinden zich nog in het stadium van de peer review. Maar Wetzel is positief. Hij is al sinds 1999 met emeritaat, maar hij houdt de ontwikkelingen in zijn vakgebied nog altijd bij. Per mail reageert hij: „Voor wat het waard is: ik ben ervan overtuigd dat beide bewijzen juist zijn. Ik ben van mening dat mijn arrogante vermoeden nu als bewezen stelling beschouwd mag worden.” Bijna een halve eeuw nadat Wetzel zijn vermoeden formuleerde, is er dus hoogstwaarschijnlijk zekerheid over het feit dat zijn taartpunt met een oppervlakte van 0,2618 groot genoeg is om elke worm van lengte 1 te overdekken.

Hoe mooi dit resultaat ook is, het wormprobleem kan nog niet geschrapt worden van de lijst onopgeloste wiskundige problemen. Want of er nog een kleinere convexe vorm bestaat die elke worm kan overdekken, blijft een onbeantwoorde vraag. Een taartpunt waarvan de hoek kleiner dan 30 graden is, voldoet in elk geval niet. Maar wellicht bestaat er een ándere convexe vorm, met een oppervlakte kleiner dan 0,2618, die elke worm kan overdekken.

Correctie (28 januari): In een eerdere versie van dit artikel stond bij het bijschrift van de illustratie dat het grijze gebied 1/6 deel van een cirkel is. Dat moet 1/12 zijn. Het is hierboven aangepast.