Opinie

Denken als een deeltje

Robbert Dijkgraaf

Wiskunde is de abstractste wetenschap. Ontstegen aan het moeras van proeven, metingen en observaties, bestudeert zij de gedachtewereld die ver voorbij de werkelijkheid reikt. Hier vinden we ruimtes van willekeurige dimensies, imaginaire getallen, een oneindigheid aan oneindigheden – alles wat gebouwd kan worden uit pure logica. In het platonische penthouse, hoogverheven boven de andere wetenschappen, jaagt zij de waarheid in puurste vorm na. Zoals de Amerikaanse wiskundige Raoul Bott ooit zei: „De andere wetenschappen zoeken naar de wetten die God heeft gekozen voor dit universum; wij wiskundigen zoeken naar de wetten waar zelfs God zich aan heeft te houden.”

Er is een complementair gezichtspunt dat de wiskunde als een meer aardse bezigheid ziet. Wiskunde is wat wiskundigen doen, op grond van menselijke ervaringen en met een mensenbrein. Veel wiskundige begrippen vinden dan ook hun oorsprong in alledaagse voorwerpen. Een handvol kiezels leidt tot getallen. Een uitgestrekt strand wordt een wiskundig vlak. Een streep in het zand een lijn. Ons brein is geëvolueerd om de wetmatigheden in deze natuurlijke verschijnselen te herkennen en te manipuleren. In die zin is de mathematische gereedschapskist gevuld met allemaal natuurlijke producten.

Alledaagse ervaringen

Als dat het geval is, als wiskunde niets anders is dan een abstracte versie van alledaagse ervaringen, waarom werken formules dan ook ver voorbij de marges van hun gebruiksaanwijzing? Geen mens groeit immers op met een intuïtief begrip van elementaire deeltjes of een uitdijend heelal. Maar ook in deze esoterische werelden regeert de wiskunde superieur. Sterker nog, de ‘mooiste’ en krachtigste formules vinden we juist in deze buitenaardse domeinen. Galilei zei al dat het boek van de natuur geschreven is in de taal van de wiskunde. En dat geldt evenzeer voor de recente hoofdstukken.

Maar het is ook tweerichtingsverkeer. Omgekeerd kan de confrontatie met nieuwe vragen ook tot ander en krachtiger wiskundig gereedschap leiden. Dat gold voor Newton en de bewegingen van de hemellichamen, en evenzeer voor de allerkleinste deeltjes. Daar regeert de quantummechanica, een nieuw regime dat alles op z’n kop zet. Hier kunnen dingen die in het alledaagse leven onmogelijk zijn. Deeltjes kunnen bijvoorbeeld op meerdere plaatsen tegelijk zijn. Niets is zeker en toeval is koning. Alles kan met een zekere waarschijnlijkheid gebeuren. Een deeltje kan zowel door de deur als het raam naar buiten gaan, of zelfs dwars door de muur heen. De fysicus Murray Gell-Mann, de ontdekker van quarks, formuleerde dit als het „totalitaire principe” van de quantumwereld: „Alles wat niet verboden is, is verplicht.”

‘Quantum’ is nu helemaal hot. Quantumcomputers benutten het nieuwe verlichte regime door talloos vele berekeningen tegelijkertijd te doen. Bedrijven en overheden investeren miljarden in deze transformerende technologie.

‘Postmoderne’ wiskunde

De revolutionaire kijk op de natuur blijkt behalve nuttig voor de hightechindustrie ook uiterst geschikt voor de ‘postmoderne’ wiskunde. Daar kijkt men niet langer naar de eigenschappen van een enkel voorwerp – zeg, een gegeven ruimte of symmetrie – maar naar alle voorwerpen tegelijkertijd. Plus hun onderlinge relaties. En de relaties tussen de relaties, etc. Men is zogezegd van individuele psychoanalyse naar groepstherapie overgestapt. Want pas in het grote familieverband wordt de samenhang duidelijk.

Maar hoe reken je met alles tegelijk? Dit is precies wat de quantumtheorie doet. Een ‘quantumwiskundige’ die kan denken zoals een elektron beweegt, zou in één keer de hele familie kunnen bestuderen. Het voert te ver om hier uit te leggen hoe dat precies in zijn werk gaat, maar het volstaat te zeggen dat in de laatste jaren belangrijke wiskundige problemen zijn opgelost met deze op de fysica geïnspireerde methode van ‘denk als een deeltje’. Terugkijkend is het niet verrassend dat de technologie die de natuur zelf gebruikt ook werkt in de gedachtewereld.

Wat is de overkoepelende les? We zien keer op keer dat, als de wetenschap in een nieuw domein binnendringt met nieuwe wetmatigheden, dit leidt tot nieuwe wiskundige begrippen, die dan op hun beurt weer kunnen uitvliegen tot in de abstractste hoeken.

Ingewikkelde verschijnselen

Lonken er nog andere nieuwe werelden dan quantum? Een belangrijke kandidaat is complexiteit. Er is geen tekort aan ingewikkelde verschijnselen om ons heen, zoals de werking van een biologische cel of een compleet organisme. Of de economie, of het internet. Evenmin als wij intuïtie hebben voor elementaire deeltjes of zwarte gaten, snappen we verbanden van triljoenen actoren. Maar met de komst van gigantische datasets, superrekenkracht en zelflerende algoritmes, treden we deze wereld nu voorzichtig binnen. En we moeten eerlijk zijn. Ons huidige arsenaal aan wiskundige begrippen schiet absoluut te kort om de geheimen te ontsluieren. Er is (nog) geen E=mc2 van het leven of van het internet.

De grote vraag is of we in de komende decennia nieuwe wiskundige ideeën zullen stelen van de natuur om deze complexiteit aan te kunnen. Kunnen we denken als het leven? In welke taal zijn de volgende hoofdstukken van Galilei’s boek geschreven? Het zou mij niet verbazen als het weer een dialect van de wiskunde is.

Robbert Dijkgraaf is directeur van het Institute for Advanced Study in Princeton.