Wat maakt deze twee driehoeken zo uniek?

Wiskunde Eén rechthoekige en één gelijkbenige driehoek waarvan alle zijden gehele getallen als lengte hebben, hebben dezelfde omtrek én oppervlakte. Dat is uniek, weten we nu.

De moderne wiskunde is verduiveld abstract. Maar de vragen die ermee beantwoord kunnen worden, hoeven dat allerminst te zijn. Twee jonge Japanse wiskundigen hebben een ogenschijnlijk simpel probleem opgelost, gebruikmakend van technieken die pas in de loop van de vorige eeuw ontwikkeld werden.

Het probleem gaat over rechthoekige driehoeken (driehoeken waarvan één hoek 90 graden is) en gelijkbenige driehoeken (driehoeken waarvan twee zijden even lang zijn). De vraag is of twee driehoeken, één rechthoekig en één gelijkbenig, met zijden die allemaal een geheeltallige lengte hebben, dezelfde omtrek én dezelfde oppervlakte kunnen hebben, en zo ja, hoeveel van zulke driehoeksparen er dan bestaan.

Het antwoord: ja, de rechthoekige driehoek met zijden 135, 352 en 377 en de gelijkbenige driehoek met zijden 132, 366 en 366 voldoen. Op vergrotingen van deze driehoeken na zijn er geen andere oplossingen. Dat is nu bewezen door Yoshinosuke Hirakawa (28) en Hideki Matsumura (26), twee postdocs van de Keio Universiteit in Tokio.

Het vinden van een concrete oplossing is met de brute rekenkracht van een computer nog wel te doen. Dat lukte puzzelliefhebber Denis Borris al in 2003. Tot aan een bepaalde grens liet hij zijn computer zoeken naar oplossingen van het driehoekenprobleem. In een officiële publicatie kwam de oplossing nooit terecht, maar ze werd wel vermeld op MathWorld, een gigantische online database met korte, wiki-achtige stukjes over wiskundige onderwerpen.

Wiskundigen willen echter álle oplossingen in kaart brengen, of, als er maar één is, bewijzen waaróm er niet meer zijn. En dat is veel moeilijker. Het is Hirakawa en Matsumura nu dus gelukt. Dat de enige oplossing al in 2003 gevonden was, wisten ze overigens niet. Ze werden erop geattendeerd nadat hun werk was geaccepteerd door het Journal of Number Theory, waarin het binnenkort zal verschijnen.

Puzzelboekproblemen

Het driehoekenprobleem dat de Japanse wiskundigen hebben opgelost, is geen bekend vraagstuk. „Toch is het goed mogelijk dat de oude Grieken hier al over hebben nagedacht,” reageert Matsumura per mail. Het probleem past namelijk goed in een reeks bewaard gebleven problemen van Diophantus van Alexandrië.

Diophantus, die vermoedelijk in de derde eeuw na Christus leefde, was een van de pleitbezorgers van de hellenistische wiskunde. In zijn boek Arithmetica zocht hij naar geheeltallige oplossingen van vraagstukken die je tegenwoordig nogal eens tegenkomt in puzzelboekjes. Bijvoorbeeld: vind drie gehele getallen met de eigenschap dat hun som, en de som van elk tweetal, een kwadraat is. (Zijn antwoord: 41, 80 en 320. De som van alledrie is 441, het kwadraat van 21. De sommen van de paren zijn 41 + 80 = 121 = 112, 41 + 320 = 361 = 192 en 80 + 320 = 400 = 202.) Of: vind een rechthoekige driehoek waarvan de lengtes van de zijden gehele getallen zijn met de eigenschap dat het verschil tussen de lengte van de schuine zijde en elk van de rechthoekszijden een derde macht is. (Diophantus’ antwoord: een driehoek met zijden 40, 96 en 104. Kijk maar: 104 – 40 = 64 = 43 en 104 – 96 = 8 = 23. Dat de driehoek rechthoekig is, volgt uit de stelling van Pythagoras.)

Twintigste-eeuwse tools

De technieken van Diophantus bestonden uit eenvoudige algebra. Ze werden op allerlei handige manieren ingezet om tot oplossingen te kunnen komen, maar voor veel ogenschijnlijk simpele vragen waren de technieken bij lange na niet voldoende. Pas in de loop van de twintigste eeuw kwamen er krachtige tools die uitkomst boden.

Hirakawa en Matsumura herformuleerden hun meetkundige vraag in een algebraïsche vergelijking waarvan de ‘rationale oplossingen’ inzicht geven in het oorspronkelijke driehoekenprobleem. Zulke vergelijkingen worden tegenwoordig diophantische vergelijkingen genoemd (zie inzet). Een van de grote stellingen van de twintigste eeuw, in 1983 bewezen door de Duitser Gerd Faltings, is dat een bepaald type diophantische vergelijking, waartoe ook die van de twee Japanners behoort, slechts eindig veel rationale oplossingen heeft. Daarmee was direct duidelijk dat er, op vergrotingen na, niet oneindig veel verschillende paren van driehoeken bestaan die aan de gestelde voorwaarden voldoen.

De stelling van Faltings geeft echter geen recept om het precieze aantal oplossingen te vinden, laat staan om die oplossingen te identificeren. Hirakawa en Matsumura stelden zich als doel om alle rationale oplossingen van hun vergelijking te vinden. Daarmee zou dan ook het driehoekenprobleem volledig zijn opgelost.

Halverwege de vorige eeuw vond de Franse wiskundige Claude Chabauty een nieuwe manier om diophantische vergelijkingen te onderzoeken. Dat werk werd in de jaren tachtig uitgebreid door de Amerikaan Robert Coleman. Voor Hirakawa en Matsumura was de Chabauty-Coleman-benadering de sleutel van hun probleem. De diophantische vergelijking bleek tien rationale oplossingen te hebben. Acht daarvan konden niet naar het driehoekenprobleem vertaald worden; je zou dan zijden met een negatieve lengte krijgen. De twee resterende oplossingen correspondeerden exact met het paar driehoeken dat Borris in 2003 ook al had gevonden. Het bewijs van de twee Japanners is niet lang, wel modern en abstract. Diophantus had het niet kunnen bedenken.