opinie

    • Robbert Dijkgraaf

De Steen van Rosetta van de wiskunde

Het is juist het zachte dat 'harde wetenschap' wiskunde houvast geeft, ziet Robbert Dijkgraaf. Kijk maar naar het overkoepelende 'programma' van Robert Langlands dat dit jaar een prijs ontvangt.

De hardste wetenschap heeft de zachtste vormen. De wiskunde wordt vaak gezien als een groeiend bouwwerk van definities, axioma’s, formules en stellingen, alles aan elkaar geschroefd met de grootste precisie. Ieder nieuw bewijs voegt extra dwarslatten toe en draait de moeren en bouten aan, zodat de toren nog steviger staat en hoger kan reiken.

Maar deze kijk op de wiskunde als een logische stellage mist een belangrijk element. De groei is namelijk niet ongericht en autonoom. Al is er geen hoofdarchitect, althans niet hier op aarde, er zijn visies die het bouwproces leiden. Sommigen van de grootste wiskundigen uit de geschiedenis zijn beroemd geworden door hun vermoedens, formules die mogelijkerwijs waar zijn, stippellijntjes die de volgende stap suggereren. En net als Mozes was het hun vaak niet gegund zelf het beloofde land te betreden.

Daarnaast zijn er nog grotere visioenen, blauwdrukken voor het gehele bouwwerk. Diepe intellectuele onderstromen die dwars door vele generaties en onderzoeksvelden lopen. Zo’n wiskundig „programma” is een diffuse verzameling van onderling verbonden feiten, suggesties en relaties, die allemaal naar iets groters en ongedefinieerds wijzen. Sommige onderdelen zijn bewezen, andere zijn slechts vermoedens en niemand weet precies tot hoe ver de visie reikt. Het is juist deze zachte kant die de wiskundige houvast geeft.

Vorige week maakte de Noorse academie van wetenschappen bekend dat dit jaar de Abelprijs, gezien als de Nobelprijs voor de wiskunde, is toegekend aan Robert Langlands voor het formuleren van precies zo’n overkoepelend programma. Dat gaf veel feestvreugde hier in Princeton. Langlands is al meer dan 45 jaar hoogleraar op mijn instituut. Hij werkt zelfs op de meest prestigieuze plek, de kamer waar ooit Einstein zetelde. Dat kantoor is strikt verboden toegang. Ik heb al menig teleurgesteld camerateam naar de gesloten deur geleid. Einstein’s office is nu Langlands’ office.

Langlands ontdekte eind jaren zestig een diep verband tussen twee compleet verschillende onderdelen van de wiskunde: aan de ene kant de getallen en hun verhoudingen, aan de andere kant meetkundige patronen en hun symmetrieën. Je zou kunnen zeggen dat hij een Escher-prent in de rekenkunde heeft ontdekt.

Het is moeilijk over te brengen hoe groot de impact van dit revolutionaire idee is. Langlands liet zien hoe dezelfde formule uit twee volstrekt verschillende gedachtewerelden kan voortkomen. Het is alsof twee chefs gaan koken met totaal andere recepten, ingrediënten en bereidingswijzen, maar uiteindelijk precies hetzelfde gerecht serveren. De schok was nog groter omdat het ene recept de eenvoudigste bestanddelen gebruikt: de gehele getallen 1, 2, 3, enzovoort.

De meeste wiskundigen zijn platonisten. Ze vinden dat wiskunde wordt ontdekt, niet bedacht. Formules bestaan al voordat ze gevonden worden, in een tijdloze wereld van pure logica. Een wiskundige graaft als een archeoloog in het zand op zoek naar verborgen schatten. De meesten van ons zijn blij met een potscherf. Een enkeling stuit op een steen die deel van een tempel blijkt te zijn. Maar bijna nooit gebeurt wat Langlands overkwam: hij vond een Steen van Rosetta. De oorspronkelijke steen werd door een soldaat van Napoleon in Egypte gevonden en bevat een tekst geschreven in hiërogliefen, demotisch en oud-Grieks. In de wiskundige variant zijn die inscripties vervangen door getallen en meetkundige figuren.

De vondst van zo’n woordenboek is uiterst waardevol, want het stelt je in staat de problemen van de ene wereld te vertalen in de begrippen van de andere. Als je geluk hebt kan met zo’n „blikwisseling” een moeilijke vraag ineens oplosbaar blijken vanuit het andere perspectief. Hoe treffend is het dat Langlands zelf ook vele talen vloeiend spreekt, zoals Frans, Duits, Russisch en Turks. Liefhebbers van talen hebben zowel oog voor de zeggingskracht en beperkingen van de afzonderlijke talen als voor de universele begrippen die hen verbinden.

Niemand weet wat de precieze omvang van het Langlands-programma zal zijn. Het blijft maar doorgroeien. Ondertussen heeft het al vele vruchten gedragen, met als opvallendste resultaat het bewijs van de Laatste Stelling van Fermat door Andrew Wiles in 1995 – een vermoeden dat meer dan drie eeuwen onbewezen was gebleven.

Zal er ooit een overkoepelende kijk komen die alle elementen bijeenbrengt? Langlands’ programma is nu als de Indiase parabel van de blinde mannen en de olifant. Eén man voelt de slurf, een tweede een slagtand, de anderen een stukje poot, oor, huid of staart. Ieder heeft zo zijn eigen idee over wat dit object is – een slang, een boom, een muur, een stuk touw? Niemand is in staat de puzzelstukjes te combineren en zich een olifant voor te stellen.

Behalve misschien Langlands zelf. In zijn dankwoord was de 81-jarige kraakhelder: de essentie van zijn ideeën is nog lang niet begrepen. Wat hem betreft is het allemaal net begonnen.

En deze week was er voor het eerst een cameraploeg in Einsteins kantoor. Excuus, in Langlands’ kantoor.

Robbert Dijkgraaf is directeur van het Institute for Advanced Study in Princeton.

    • Robbert Dijkgraaf