Visionaire wiskundige die verrassende verbanden ontdekte

Abelprijs De Canadese wiskundige Robert Langlands (1936) krijgt dit jaar de Abelprijs, de ‘Nobelprijs’ voor de wiskunde. Hij sloeg bruggen tussen takken van de wiskunde die ogenschijnlijk ver van elkaar vandaan stonden.

Robert Langlands Foto Dan Komoda

In 1967 stuurde de Canadese wiskundige Robert Langlands (1936) een brief aan André Weil, een van de reuzen van de twintigste-eeuwse getaltheorie. In zijn brief vroeg Langlands Weil naar zijn mening over een paar nieuwe wiskundige ideeën. Of hij de inhoud als ‘pure speculatie’ wilde lezen, en zo niet, dat hij dan ‘vast wel een prullenbak’ zou hebben.

In die prullenbak is de brief gelukkig niet beland. De zeventien pagina’s tellende handgeschreven brief is bewaard gebleven en is tegenwoordig beroemd onder wiskundigen. De brief was het begin van wat later het Langlandsprogramma zou gaan heten.

Voor zijn werk krijgt Langlands (Institute for Advanced Study, Princeton) dit jaar de Abelprijs. Dit werk is door de wiskundige Edward Frenkel een Grand Unified Theory van de wiskunde genoemd.

Langlands bleek een visionair. Hij sloeg bruggen tussen takken van de wiskunde die ogenschijnlijk lichtjaren van elkaar vandaan stonden. Hij zag connecties die niemand eerder vermoedde. In 1970 publiceerde hij zijn theorieën onder de titel Problems in the Theory of Automorphic Forms. Hij formuleerde daarin vermoedens die de getaltheorie met de harmonische analyse verbindt; vermoedens waarvan experts geloven dat ze waar zijn, maar waarvan – ook nu nog – lang niet alles is opgehelderd.

Alsof elk muziekstuk van Bach een ‘spiegelbeeld’ heeft in de oeuvres van Brahms en Stravinsky

In de daarop volgende jaren werkte Langlands zijn ideeën verder uit. Langzamerhand werd duidelijk dat veel door Langlands ontdekte patronen zich in de meest uiteenlopende deelgebieden van de wiskunde bevinden. Alsof elk muziekstuk van Bach een ‘spiegelbeeld’ heeft in de oeuvres van Brahms en Stravinsky, waarbij verbluffende analogieën – qua lengte, opbouw, aantal noten, instrumentatie enzovoort – bestaan tussen een werk van Bach en zijn spiegelbeelden van Brahms en Stravinsky.

Langlands’ magische verbanden kwamen bekend te staan onder de naam Langlandsprogramma. Sinds zijn befaamde brief hebben ’s werelds beste wiskundigen zich ermee beziggehouden, waardoor het programma zich gestaag uitbreidde. Reciprociteitswetten, automorfe vormen, Riemann-oppervlakken, Kac-Moody-algebra’s, Hitchin-moduliruimtes: stuk voor stuk abstracte begrippen uit verschillende deelgebieden van de wiskunde, die allemaal verband met elkaar bleken te hebben. Ze duiden op een mysterieuze onderliggende structuur voor de hele wiskunde.

In de afgelopen decennia vielen er beetje bij beetje puzzelstukjes op zijn plaats. Een spectaculair voorbeeld is het verband tussen de beroemde laatste stelling van Fermat uit 1637 en het veel modernere ‘modulariteitsvermoeden’. Andrew Wiles, die twee jaar geleden de Abelprijs won, bewees dit laatste vermoeden in 1994, waarmee een deel van het Langlandsprogramma was opgelost. Andere doorbraken in het Langlandsprogramma zijn het bewijs van het Sato-Tate-vermoeden, geleverd in 2006, en het bewijs van het hoofdlemma van het Langlandsprogramma, geleverd in 2008.

Maar er is nog veel werk aan de winkel. Veel vermoedens uit het Langlandsprogramma zijn nog altijd onbewezen. Sommige wiskundigen menen dat het programma zelfs aan het eind van de eenentwintigste eeuw nog niet is afgerond. Zó veel omvattend is het. Zó moeilijk zijn de vermoedens.

    • Alex van den Brandhof