Wisseltruc met breuken

Een puzzel uit 2018. Uit een Afrikaanse wiskundewedstrijd. Met een lange rij breuken. Die begint met 1 (ofwel 1/1), dan volgen 1/2, 1/3, 1/4,1/5 en zo verder tot 1/2018. Eva mag steeds twee breuken kiezen, zeg x en y, die uitwissen en er dit voor in de plaats zetten: x+y+xy.

Kiest ze 1/2 en 1/10 dan komt daarvoor 1/2+1/10+(1/2×1/10) = 13/20 in de plaats te staan. Kiest ze 1 en 1/18, dan worden die vervangen door 1/18+1 +1/18=10/9. En gaat ze door met wegstrepen en vervangen, dan blijft uiteindelijk één getal over. Welk?

2018. Klopt. Maar waarom? Eerst moet je dit zien: Je kan (x+y+xy) ook schrijven als (x+1)×(y+1) - 1. Kiest Eva 1/2 en 1/10, dan kan ze dat dus schrijven als (1/2+1) × (1/10+1) - 1. Ofwel: (3/2×11/10) - 1. Net zo kan ze 1 en 1/18 vervangen door (2/1×19/18) - 1.

Stel nu dat Eva deze twee uitkomsten kiest als een nieuw paar om uit te gummen en te vervangen. Dan is (3/2×11/10) - 1 bijvoorbeeld de nieuwe x, en (2/1×19/18) - 1 de nieuwe y, en komt er in plaats van die twee (x+1) × (y+1) - 1 te staan, ofwel (3/2×11/10) × (2/1×19/18) - 1.

Zo kan Eva blijven doorgaan en zie je wat er dan gebeurt? Ze eindigt met één lange vermenigvuldiging van breuken (met (-1) erachter). Welke breuken? Nou, alle breuken van 2/1, 3/2, 4/3 , 5/4 en zo verder tot 2019/2018. En als je die met elkaar vermenigvuldigt, dan schuift de hele rij als een harmonica in elkaar. Neem als voorbeeld maar 2/1 x 3/2 × 4/3 × 5/4 × 6/5×7/6. Dat geeft 7.

Net zo geeft de lange rij 2/1 tot 2019/2018 dus 2019. Met (-1) daar nog achter, geeft dat 2019-1=2018!

    • Margriet van der Heijden