25=52 en 343=?

Wat maakt 25 (dat is het vandaag) een mooi getal? Bijvoorbeeld dit: dat je 25 kan schrijven als 52. En waarom is dat mooi? Omdat je enkel 2 en 5, de cijfers van 25 dus, gebruikt om uit te komen op 25.

Zoiets lukt bijvoorbeeld ook bij 121. Dat kan je schrijven als 112. En bij 125 lukt het op een andere manier. Kijk maar: 125 = 5 (1+2). Ofwel 53 = 5x5x5.

Om zo 125 te vinden, hebben we haakjes gebruikt (), een ‘+’ en een macht (zoals een kwadraat).

Als je ook nog een ‘-’, een ‘x’ en een ‘/’ mag gebruiken (of wel als je mag optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen) dan kun je nog meer van dit soort getallen vinden. Zoals het rijtje 128, 127 en 126. Daarin is 128=2(8-1), en 127=27-1 en 126?

Getallen zoals deze heten Friedmangetallen. Tussen de 0 en 10.000 zitten er 72. Veertien daarvan zijn (volgens wiskundigen) extra leuk, omdat hun cijfers op volgorde kunnen blijven als je er plussen, minnen of andere tekens tussen zet of als je ze een tikje omhoog geeft. 127 is de eerste van die veertien extra leukerds, want dat kun je schrijven als -1+27.

Een veel grotere en speciale leukerd is 11111111111, want dat kun je schrijven als {(11-1)11-1×1)}/(11-1-1). Al is het hier niet zo gek natuurlijk, dat de volgorde van de cijfers hetzelfde blijft.

En weet je al of 126 bij die speciale set van veertien hoort? De Friedmangetallen die na het rijtje 126,127, 128 komen, zijn trouwens 153, 216, 289 en 343. En ja, alleen die laatste is speciaal: 343=(3+4)3. En nee, 126 is dat niet, want daarvoor geldt 126=6×21.

Kan je bedenken op welke manier 153, 216 en 189 Friedman zijn?

    • Margriet van der Heijden