De bruggen van Königsberg

Sommige oude wiskunderaadsels horen bij de mooiste raadsels. Zoals dat over de stad Königsberg, die nu Kaliningrad heet en in Rusland ligt.

Toen Kaliningrad nog Königsberg was, waren er zeven bruggen. De Königsbergers wandelden er vaak over heen: van de ene oever van de Pregel – een rivier met een lus – naar de andere.

Hun raadsel was: kan je een wandeling maken waarbij je elke brug precies één keer oversteekt? Zonder een brug over te slaan?

Na even denken vermoed je misschien: nee. Maar wil je dat laten zien door te tekenen, dan raak je al gauw verstrikt in een wirwar van lijnen.

Gelukkig kan het sneller. Dat liet de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler drie eeuwen geleden al zien. Hij gebruikte ‘een bewijs uit het ongerijmde’. Daarin zeg je eerst dat iets waar is. Daarna laat je zien dat die ‘waarheid’ tot iets onmogelijks leidt. En zo heb je bewezen dat iets niet waar kan zijn.

Hier zeg je eerst: zo’n wandeling gaat prima. Daarna zeg je: kijk maar. Je begint in A,B,C of D en je eindigt ook weer in één van die gebieden. Dat betekent wel dat minstens twee van die gebieden niet het begin- of eindpunt zijn. Op deze gebieden beland je alleen onderweg (zeg X keer), en je verlaat ze even vaak (ook X keer).

Maar: als je elke brug maar één keer mag oversteken, dan moeten die gebieden dus door een even aantal bruggen met andere oevers verbonden zijn. En is dat zo in Köningsberg? Je ziet het al: het eiland (C) heeft vijf bruggen en alle andere stroken land hebben er drie. De wandeling uit het raadsel bestaat dus niet. QED zeggen wiskundigen. In het Engels: Quite elegantly done!