De taart van Gabriel

Opnieuw afgedrukt, nu zonder zetfouten.

Vandaag geen raadsel, maar iets geks: een taart met verdiepingen, zoals je wel op bruiloften ziet.

Deze is wiskundig én reusachtig: alle verdiepingen zijn rond en 1 meter dik. De eerste laag heeft een straal (de afstand van het middelpunt van een cirkel naar de rand; zeg R) van 1 meter. De tweede laag heeft een straal van ½ meter, de derde van 1/3 meter, de vierde van ¼ meter en zo verder.

Als zo’n taart oneindig veel verdiepingen moet krijgen, hoeveel beslag moet een bakker dan maken? Een slimme bakker slaat aan het rekenen. Als je twee jaar op de middelbare school zit (of zat), kun je meerekenen.

Eerst schrijft hij de formule op voor het oppervlak van elke laag: pR 2. Vermenigvuldigt hij die met de dikte van de laag (×1), dan heeft hij voor elke laag de hoeveelheid cake te pakken.

Alle lagen samen geven zo: p ×(1+1/2)2+(1/3)2+(1/4)2… en zo verder. En echte wiskundigen weten meteen: dat telt niet op tot oneindig. Preciezer: de bakker zal zo’n 5.000 liter beslag nodig hebben. Best raar, voor een oneindige taart.

Maar het gekste komt nog. De bakker wil de taart glazuren. Hoeveel glazuur heeft hij nodig? Het oppervlak van alle bovenkanten samen is p×(1-(1/2)2 +(1/2)2-(1/3)2+(1/3)2…) en dat is p. Goed te doen.

Nu de zijkanten. Eerst neemt de bakker de formule voor de omtrek van elke laag: 2pR. Die omtrek (de lengte van de rand) vermenigvuldigd met de dikte van de laag (×1) geeft het oppervlak. Alle lagen samen geven zo: 2p×(1+1/2+1/3+1/4+1/5…) En dat geeft? Oneindig veel! Bestaat de taart soms op het laatst enkel uit oppervlak?