Waarom drie deuren tot woede leiden

Kansberekening

Coen Teulings verwachtte het al: uitleg van het Monty Hall-principe leidt altijd tot onbegrip. NRC-lezers reageerden.

„U gaat een spelletje spelen”, kondigt econoom Coen Teulings op 12 oktober met merkbaar genoegen aan. In zijn column (Onze irrationaliteit is vaak voorspelbaar) legt hij de NRC-lezer een variant op het Monty Hall-probleem voor, genoemd naar een spelshowhost. „Achter één van drie deuren ligt 100.000 euro. U mag een deur aanwijzen om te openen. Daarna zal de spelleider een van de andere twee deuren openen om te laten zien dat de schat daar in ieder geval niet ligt. En dan krijgt u een tweede kans: u mag nog op uw oorspronkelijke keuze terugkomen en die andere nog niet geopende deur kiezen. Wat doet u?”

De oplossing: altijd wisselen. Dat verdubbelt de kans op winnen van een op drie naar twee op drie. Hij sloot zijn uitleg af met een zin die profetisch bleek: „Deze redenering is onbetwistbaar en voor veel mensen toch onnavolgbaar. Vaak worden mensen boos als ze dit wordt uitgelegd.”

Lees hier de column van Coen Teulings: Onze irrationaliteit is vaak voorspelbaar.

En boos, dat werd u. NRC ontving meerdere brieven die allen het ongelijk van Teulings betoogden, met diagrammen, schemata en stappenplannen. Lezer Wout Klein uit Lochem denkt dat mensen „misschien wel boos worden” omdat de redenering van de econoom zo „gebrekkig” is. Jan Frings uit Zutphen zag de ‘fout’ en schreef: „De denkfout van Teulings is dat hij de kansverdeling van de eerste verdeling gebruikt in de tweede verdeling.”

Het is overduidelijk 50 procent en wisselen heeft geen zin, schrijft ook Jacek W. Werbachowski: „In de tweede instantie blijven er twee deuren over en het spelletje begint opnieuw: men moet een van de twee kiezen, de kans is dus 50 procent.”

Een hoogleraar krijgt ook nooit de hele collegezaal mee als hij het Monty Hall-probleem uitlegt

Maar de redenering van Teulings klopt wel: in de illustratie is te zien hoe het spel kan verlopen als je de eerste deur kiest. Je wint dan alleen als de prijs achter deur 1 ligt en dat is in één op de drie keren het geval: in twee op de drie pogingen zal je verliezen. Nu opent de spelleider een deur en geeft je daarmee een hint. Want de deur die hij opent, is niet willekeurig gekozen: hij opent een ‘verliezende’ deur. Zit de prijs achter deur 2, dan opent hij deur 3 en omgekeerd. Als je dan wisselt, win je dus altijd, tenzij de prijs achter de eerste deur zit. Dat is het geval in één op de drie spellen. Wisselen verdubbelt dus je kansen.

Waarom je altijd moet wisselen

Teulings was niet de eerste die op weerstand stuitte. De Amerikaanse schrijfster Marilyn vos Savant – enkele jaren de mens met het hoogste IQ volgens het Guiness Book of World Records – beschreef in haar column Ask Marilyn in 1991 de correcte oplossing voor het probleem. Toen The New York Times haar oplossing op de voorpagina publiceerde, was de wereld te klein. In duizenden brieven – ook van wetenschappers – werd haar oplossing bestreden.

Waarom is dit zo lastig? Intuïtief kunnen we lastig onderscheid maken tussen een kans van twee op drie of één op twee, vertelt hoogleraar cognitiewetenschappen Emiel Krahmer. Iets meer kans – zeker – maar hoeveel meer? „Teulings vat een gigantisch debat samen in een paar zinnen”, zegt Krahmer. Hij snapt dat mensen in de war raken. Zelf krijgt hij ook nooit de hele collegezaal mee als hij het Monty Hall-probleem uitlegt.

Het kan helpen om het spel te vergroten: als er 100 deuren zijn en de spelleider er 98 opent. Dan is wisselen opeens een stuk intuïtiever.