Pubquiz? Zij zaten in de kroeg lekker te rekenen en redeneren

Wiskunde

In het Schotse Café in Lwów (nu Lviv) werkten grote Poolse wiskundigen aan problemen. Hun krabbels kwamen in het Schotse Boek. Voor dat boek is nu veel interesse en het café is weer open.

Wiskundigen buigen zich over problemen in het Schots Café in Lwów (nu Lviv). Illustratie Marek Szyszko

In het centrum van de Oekraïense stad Lviv opende drie jaar geleden een nieuw etablissement zijn deuren: Szkocka Restaurant & Bar. ‘Szkocka’ is ‘Schots’ in het Pools, maar verwacht hier geen haggis, biefstuk van een Schotse hooglander, Schotse zalm of een keur aan Schotse single malt whisky’s. Nee, de specialiteit van het huis is ganzenfilet. Daarover zo meer.

In de twintigste eeuw wisselde Lviv vaak van regime en van naam. De Habsburgers noemden de stad Lemberg. Na de Eerste Wereldoorlog werd Polen onafhankelijk, inclusief Lemberg, dat Lwów ging heten. En sinds de onafhankelijkheid van Oekraïne in 1991 heet ze Lviv. In het pand van het huidige ‘Szkocka’ hebben diverse cafés gezeten en ook was er jarenlang een bankfiliaal gevestigd.

Met de naam ‘Szkocka’ heeft de eigenaar van het restaurant een stuk geschiedenis in ere hersteld. Mathematische geschiedenis. Tijdens het interbellum had Polen twee wiskundige scholen van wereldformaat: in Warschau en in Lwów. De voorman in Lwów was Stefan Banach. Elke student wiskunde komt vroeg of laat tijdens zijn studie het begrip ‘Banachruimte’, de ‘Banach-Tarski-paradox’ en ‘Banachs contractiestelling’ tegen. Banach was een van de grondleggers van de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde dat tegenwoordig in de economie wordt toegepast bij het ontwerpen van evenwichtsmodellen.

Wiskundigen buigen zich over problemen in het Schots Café in Lwów (nu Lviv). Illustratie Marek Szyszko

Banach was niet het type dat de hele dag solitair in zijn studeerkamer zat. Hij kon het best nadenken met rumoer om zich heen en was daarom dikwijls te vinden in ‘Kawiarnia Szkocka’ – het Schotse Café – dat dichtbij de universiteit lag. Waarom het café zo heette? Omdat het zich bevond op de begane grond van een gebouw dat dankzij twee karakteristieke torentjes wat weg had van een Schots kasteel. De muren in het café waren beschilderd met taferelen uit de romans van de Schotse schrijver Walter Scott.

Met houtskool

Veel collega’s volgden Banachs voorbeeld. Vaker in het Schotse Café dan binnen de muren van de universiteit ontstonden levendige discussies. Met een kop koffie of een borrel discussieerden de wiskundigen uit Lwów over politiek, theatervoorstellingen en – natuurlijk – wiskunde. Het interieur van het Schotse Café leende zich goed voor wiskundige conversaties. Meestal niet op papier maar direct op de marmeren tafelbladen werkten de wiskundigen hun berekeningen met houtskool uit: goed te overzien voor de omzittenden en simpel weg te vegen.

Om te voorkomen dat alle aantekeningen verloren zouden gaan, lag in het café een groot notitieboek, waarin de wiskundigen hun problemen en eventuele oplossingen opschreven. Het staat nu bekend als het Schotse Boek. Het eerste probleem werd op 17 juli 1935 genoteerd, door Banach zelf. De collectie vraagstukken geeft een goed beeld van de interesses en de werkwijze van de café-wiskundigen.

Veel problemen gingen over functionaalanalyse, het vak waar de Poolse wiskundigen onder leiding van Banach tijdens het interbellum naam mee maakten. Maar in het Schotse Boek staan ook vragen uit de verzamelingenleer, topologie, groepentheorie, maattheorie en kansrekening. Sommige problemen werden ter plekke opgelost, andere moesten jaren op een antwoord wachten. En van de in totaal 193 problemen zijn er enkele die nog altijd onopgelost zijn. Eén daarvan is nummer 38 (zie kader), over zogeheten ‘random grafen’: een jonge tak van de wiskunde met praktische toepassingen in alle gebieden waarin complexe netwerken worden gemodelleerd.

In 1981 verscheen onder redactie van Dan Mauldin (University of North Texas) een Engelstalige uitgave van het Schotse Boek, met nieuwe inzichten en commentaren. In 2015 verscheen een herziene versie. Daardoor ontstond weer belangstelling voor de nog onopgeloste vragen. De wiskundigen Kathryn Mann (University of California, Berkeley) en Frédéric Le Roux (Université Pierre-et-Marie-Curie, Parijs) namen probleem 111 onder de loep en zetten in 2016 een oplossing op de preprintservice arXiv (zie kader).

Een kilo bacon

Bij sommige problemen vermeldden de wiskundigen in het Schotse Boek welke prijs een oplossing waard was. Vijf biertjes, een fles wijn, een kilo bacon of honderd gram kaviaar. De origineelste prijs kwam van Stanislaw Mazur. Voor een oplossing van probleem 153, op 6 november 1936 opgetekend, loofde hij een levende gans uit – waarmee de specialiteit van het huidige Szkocka verklaard is. In 1973 werd het dier persoonlijk door Mazur overhandigd aan Per Enflo. Deze Zweedse wiskundige had het probleem een jaar daarvoor opgelost en was speciaal naar Warschau gereisd om de prijs in ontvangst te nemen.

In september 1939 werd Lwów bij de Sovjet-Unie ingedeeld. In de daaropvolgende maanden bezochten ook Russische wiskundigen het Schotse Café: dat blijkt uit een aantal in het Russisch genoteerde problemen in het Schotse Boek. De laatste datum in het boek is 31 mei 1941, een maand voordat Duitse troepen de stad binnen marcheerden.

De bezetting van Polen door de nazi’s was een catastrofe voor de wetenschap. Veel leden van de wiskundefaculteit in Lwów overleefden de Tweede Wereldoorlog niet. Wonderwel doorstond het oude centrum van de stad de oorlog grotendeels. Ook het Schotse Boek bleef behouden. Het origineel ligt in het Banach-centrum in Warschau, maar een kopie is in te zien in het huidige restaurant Szkocka.

De puzzels in het boek horen niet tot de ‘grote wiskundige problemen’. Maar dat Mann en Le Roux nummer 111 nu hebben kunnen afvinken, maakt de wiskunde toch weer wat rijker.