Taart voor honderd

In wiskundetijdschrift Pythagoras staan altijd mooie puzzels. Zo mooi dat ze soms in Engelse kranten belanden. Hier is er eentje.

Voor een taart staan 100 mensen in de rij. De eerste krijgt 1/100 stukje taart. De tweede krijgt 2/100 van de rest van de taart. De derde krijgt daarna 3/100 en zo door. Op welke plek krijg je het grootste stuk?

Niet achteraan. De honderdste krijgt 100/100 en dus alles wat er over is. Niet veel, na 99 voorgangers.

Halverwege? Dan krijg je (nummer 50) de helft van wat over is. Maar voor jou kregen 49 en 48 óók bijna de helft van wat toen over was. Zo krijg je dus maar ongeveer een kwart van wat 48 kreeg. Net zo zie je dat 25 (kwart) en 20 (vijfde) geen goede plekken zijn.

Vooraan? Dan krijg je 1/100 van de hele taart, maar nummer 2 in de rij krijgt meteen al twee keer zo veel (2/100) van bijna de hele taart.

Een beetje vooraan dus. Maar waar? Eén manier om erachter te komen is: rekenen. Begin bij 1, bereken wat overblijft en ga door…

En hou je van wiskunde, dan helpen formules. Nummer Y in de rij krijgt (Y/100) x R, met R de rest. Snij je dat af, dan blijft R-(Y/100) x R= R x ((100-Y)/100)) over. Nummer Y+1 krijgt dus ((Y+1)/100)x((100-Y)/100)xR. Dan krijgt Y+1 meer dan Y als ((Y+1)/100)x((100-Y)/100)xR groter dan (Y/100) x R.

Ofwel, uitgewerkt en versimpeld, als: -R2-R+100 groter is dan 0. Dat klopt voor alle getallen van 1 t/m 9. Wie op de plekken 2 t/m 10 (9+1) staat, krijgt een groter stuk dan degene voor hem. Daarna worden de stukken kleiner. Nummer 10 dus!