Alle vlakvullende vijfhoeken zijn nu gevonden

Wiskunde

We kennen alle vlakvullende veelhoeken waarmee je een wand zonder gaten of overlap kunt betegelen. Dat is nu aangetoond.

Vijftien manieren om met vijfhoeken een vlak te vullen

Jarenlang schreef Martin Gardner (1914-2010), de man die als geen ander moeilijke wiskunde voor het grote publiek verteerbaar wist te maken, columns voor Scientific American. In 1975 ging één daarvan over het betegelen van een vlak met identieke zogeheten ‘convexe veelhoeken’. Een veelhoek is convex als elke hoek ervan, vanuit de binnenkant gezien, kleiner dan 180 graden is: een vierkant en een ruit zijn convex, maar een ster niet.

Toen Gardner die column schreef, leek het erop dat alle vormen waarmee je een wand zonder gaten en zonder overlap kunt betegelen bekend waren. Maar enkele slimme lezers ontdekten nieuwe exemplaren. Inmiddels zijn ze allemaal gevonden. Dat er geen enkele vlakvullende veelhoek over het hoofd is gezien, is nu bewezen door de Franse wiskundige Michaël Rao van het Centre National de la Recherche Scientifique in Parijs.

Veelhoeken met meer dan zes zijden kunnen een muur nooit naadloos betegelen (zie inzet). Dat maakt het lekker overzichtelijk: je hoeft alleen drie-, vier-, vijf- en zeshoeken te onderzoeken. Het is niet moeilijk om in te zien dat elke driehoek vlakvullend is. Plak twee kopieën zodanig tegen elkaar dat er een parallellogram (een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden) ontstaat. Dat je met een eindeloze serie identieke parallellogrammen een heel vlak kunt betegelen, is duidelijk. Zoals Gardner destijds in zijn column liet zien, is élke vierhoekige tegel vlakvullend. Hij hoeft niet eens convex te zijn.

In 1918 kwam er duidelijkheid over zeshoekige tegels. Toen liet de Duitse wiskundige Karl Reinhardt (1895-1941) zien dat er drie families van vlakvullende convexe zeshoeken bestaan. Hij bewees bovendien dat elke vlakvullende zeshoek tot een van die families behoort; een vierde familie is er niet. Binnen één familie voldoen alle vormen aan een aantal voorwaarden, zoals ‘de zijden a en b zijn even lang’ of ‘de hoeken A, B en D zijn bij elkaar 360 graden’.

Amerikaanse huisvrouw Marjorie Rice vond vier families van vlakvullende vijfhoeken

De vijfhoeken waren hardnekkiger. Reinhardt vond in 1918 vijf families. Later, in 1968, vond de Amerikaanse wiskundige Richard Kershner er nog eens drie. Bovendien „bewees Kershner dat elke vlakvullende vijfhoek tot een van de in totaal acht families hoort”, schreef Gardner in zijn column.

Maar toen ontving de Amerikaanse wiskundepopularisator een brief van Richard James, een software-engineer van Control Data Corporation, waarin die een vijfhoek beschreef met de volgende eigenschappen: de zijden a en b zijn beide even lang als de zijden c en e bij elkaar, hoek A is 90 graden, de hoeken C en D samen 270, en de hoeken 2C + B en 2D + E zijn elk 360 graden. Of Gardner het ermee eens was dat Kershner deze familie had gemist, vroeg James. Dat bleek inderdaad het geval, waarmee duidelijk was dat de classificatie van vlakvullende vijfhoeken nog niet was voltooid. Kershners bewijs bevatte kennelijk een fout.

Er bleken nog meer lacunes te zijn. Aangespoord door Gardners column begon Marjorie Rice, een Amerikaanse huisvrouw die niet meer van wiskunde wist dan wat ze op de middelbare school had geleerd, een systematische zoektocht naar vlakvullende vijfhoeken. Rice vond nog vier families, waarmee het totaal op dertien kwam.

In 1985 vond de Duitser Rolf Stein, destijds wiskundestudent, een veertiende familie en in 2015 vond een drietal wiskundigen van de universiteit van Washington Bothell de vijftiende vijfhoek-betegeling. Maar of ze nu allemaal gevonden waren, of dat er misschien nog andere vijfhoeken waren die niet thuishoren in een van de bestaande families, bleef onduidelijk.

Tot nu, want Michaël Rao presenteerde onlangs een bewijs dat de vijfhoek die twee jaar geleden werd gevonden, echt de laatste is. Rao’s belangrijkste inzicht was dat er slechts eindig veel families van vijfhoeken bestaan – 371 om precies te zijn. Binnen elke familie voldoet elke vijfhoek aan bepaalde hoekvoorwaarden. Dankzij slim programmeerwerk kon hij de computer laten verifiëren welke vijfhoeken vlakvullend zijn. Dat bleken alleen de vijfhoeken uit de vijftien bekende families te zijn.

Maar kan Rao’s computerbewijs geen bug bevatten? Dat lijkt uitgesloten, want een groot deel van Rao’s werk is op een onafhankelijke manier gereproduceerd door de Amerikaanse wiskundigeThomas Hales van de universiteit van Pittsburgh, die een vooraanstaande positie heeft als het om computerbewijzen gaat. Hales heeft er alle vertrouwen in dat Rao’s werk het sluitstuk is van een zoektocht die 99 jaar geleden begon. Marjorie Rice kon het nog nét meemaken. Zij overleed vorige maand op 94-jarige leeftijd.

De column van Martin Gardner is als hoofdstuk 13 opgenomen in zijn boek Time Travel and Other Mathematical Bewilderments (1988) dat online staat.