Waarom een piano altijd vals klinkt

Muziek!

Goed gestemde piano’s zijn vals. Expres, om een oud probleem met de harmonie der sferen op te lossen. Pythagoras draait zich om in zijn graf.

Arjen Born

Sla de meest linkse toets op een piano aan. Daarna de toets die twaalf toetsen rechts daarvan ligt. De toon die klinkt is een octaaf hoger. Ook de samenklank van beide tonen heet octaaf.

De muziektheorie zegt dat een octaaf de dubbele frequentie van de grondtoon heeft. Op een naar huidige inzichten goed gestemde piano is dat zo. Op een piano is het octaaf de enige zuivere samenklank. De rest is vals.

De piano! Waarschijnlijk het meest gebruikte muziekinstrument ter wereld. En dan vals! Expres!

Het komt voort uit een natuurlijke tegenstrijdigheid, al 2500 jaar bekend, maar pas 600 jaar een echt probleem. Het is een duivel in de muziek die zich niet uit laat drijven.

Voor niet-musici is het probleem met simpel rekenwerk te doorgronden. In dit stuk komt het er op neer dat 7×12 in de muziek niet gelijk is aan 12×7. Er zijn vele andere rekenvoorbeelden.

Muzikanten passen zich aan. Zangers, strijkers of blazers die met een pianist samenspelen intoneren ook vals, maar zuiver op de pianotonen. Musiceren ze zonder piano, dan corrigeren ze hun instrument al spelend. Vooral bij slotakkoorden en in langzame passages ontstaan loepzuivere, kraakheldere samenklanken (zie kader ‘Wat is zuiver?’). Dat corrigeren kan door net iets hoger of lager te zingen, door met de lippen meer of minder druk op het mondstuk uit te oefenen, of door een vioolsnaar iets hoger of lager op de kam te drukken.

Samenklanken

De tonen in een zuivere samenklank (een akkoord in muziektermen) hebben frequentieverhoudingen met simpele, kleine verhoudingsgetallen: 2:1 (octaaf), 3:2 en 4:3 voor andere, belangrijke samenklanken in de muziek.

De vals gestemde piano is een oplossing voor een probleem dat onder het oppervlak sluimerde sinds (waarschijnlijk) Pythagoras – 550 jaar voor het begin van de jaartelling.

Pythagoras, of mensen in zijn ‘school’, stelde vast dat twee tonen die in relatie tot elkaar zuiver klinken, altijd worden voortgebracht door snaren met lengteverhoudingen 2:1, of 3:2, of 4:3 en zo verder. Eenvoudige, mooie lengteverhoudingen.

Hij koppelde daar een metafysische filosofie – een heel wereldbeeld – aan vast. Dat wereldbeeld, met een harmonie der sferen, verbrokkelde na het jaar 1000.

Toen daarna late middeleeuwers orgels en klavecimbels met veel octaven omvang gingen bouwen, kwam een oud probleem aan het licht. De theoretici kenden het, maar nu kregen musici, instrumentbouwers en componisten er last van. Op welke toonhoogte moesten de bespelers van de instrumenten de bij iedere toets horende snaar of orgelpijp stemmen?

Zeven maal twaalf

Voor een illustratie van het probleem gaan we terug naar de piano. Het aanslaan van een hoger octaaf, vanaf de meest linkse toets, kun je op de meeste piano’s zeven keer herhalen. Dat is 7×12.

Neem nu dezelfde grondtoon en sla de kwint rechts daarvan aan. De kwint is een belangrijke samenklank. Hij helpt ons oor om de grondtoon vast te leggen. De kwint is de sol van do-re-mi-fa-sol. Volgens Pythagoras, en volgens alle musici die zuiver intoneren heeft de kwint een frequentie van 3/2 (1,5) keer de grondtoon. Die kwint ligt op het toetsenbord zeven toetsen naar rechts. Doe dat twaalf keer: 12×7. Deze oefening eindigt op dezelfde toets als na zeven keer twaalf toetsen stijgen.

Arjen Born

Zeven octaven omhoog is zeven keer een verdubbeling van frequentie. Stel de frequentie van de laagste toon voor het gemak op 1. Dan heeft de toon zeven octaven hoger een frequentie van 2x2x2x2x2x2x2=27=128.

Over naar de kwint. De frequentie van die twaalfde kwint op de piano moet dus (3/2)12 zijn. Dat is 129,75. Dat kan niet op één piano, als eenzelfde toets twee verschillende frequenties (128 en 129,75) moet produceren.

Dat probleem is er niet alleen met tonen die zeven octaven uit elkaar liggen. De problemen, hoewel kleiner, zijn voor pianostemmers en musici moeiteloos bínnen één octaaf te vinden.

Een klavier is, bijvoorbeeld, vanaf de toon c (als grondtoon) zuiver te stemmen. De octaven met dubbele frequentie en boven iedere c een zuivere kwint (de g, met 1,5 keer de frequentie van de c) en daartussen de andere tonen met mooie frequentieverhoudingen ten opzichte van de c.

Zolang de pianist in die toonsoort blijft spelen klinkt het instrument fantastisch helder en doorzichtig.

Naar des of fis

De problemen ontstaan als de componist de speler laat switchen naar, bijvoorbeeld, de toonsoort des of fis. Dan zijn, bij die stemming, sommige samenklanken flink vals.

Het leidde, onder andere door het gewenste wisselen van toonsoort, vanaf de vijftiende eeuw, tot gekrakeel onder componisten, orgelbouwers, muziektheoretici en natuurkundigen. Zarlino, Kepler, Christiaan Huygens, Simon Stevin, Rameau, Euler, Helmholtz, Hindemith en later in de 20-ste eeuw de Nederlandse natuurkundige prof. A.D. Fokker. Er waren mensen die vonden dat het probleem binnen twaalf tonen in een octaaf onoplosbaar was, gezien de eisen die componisten stelden door in veel verschillende toonsoorten te componeren. Dat je het best instrumenten kon bouwen met meer dan twaalf toetsen binnen een octaaf.

Fokker bijvoorbeeld berekende een 31-toons (binnen een octaaf) systeem. Het orgel dat hij er voor ontwierp en dat in 1950 werd gebouwd staat, na een grote renovatie, sinds 2009 in het Muziekgebouw aan ’t IJ in Amsterdam.

Gelijkzwevend

Anderen ontwierpen stemmingsystemen voor de twaalf toetsen waarin zo veel mogelijk intervallen in zo veel mogelijk toonsoorten goed klonken.

Maar uiteindelijk tendeerde iedereen naar de gelijkzwevende of evenredig zwevende stemming: alle twaalf tonen binnen een octaaf kregen precies dezelfde frequentieverhouding ten opzichte van zijn buurtonen. Op een goedgestemde piano klinkt iedere toon een twaalfdemachtswortel van 2 keer zo hoog als zijn lager klinkende buurtoon. Dat is een vermenigvuldigingsfactor van 1,05946309435 (en nog veel meer decimalen). De kwint komt dan een factor 1,498307 boven de grondtoon. Dat is niet de zuivere kwint met zijn verhouding van 1,5 (ofwel 3/2). Het levert valse piano’s, maar wel piano’s die in alle toonsoorten hetzelfde klinken. We doen het ermee. En het klinkt niet eens zo gek, want de piano met zijn dikke snaren verdoezelt veel, maar wie op YouTube filmpjes opzoekt waarin de verschillen worden gedemonstreerd wordt er als luisteraar door verrast.