Verjaardagswiskunde

Magische leeftijd

Mijn moeders leeftijd is soms ‘het spiegelbeeld’ van de mijne, ziet . Hoe kan dat? En wat betekent ‘hoe kan dat?’ dan?

Toen mijn moeder laatst haar verjaardag vierde, viel me een getalsmatige gezelligheid op. Als ik de cijfers van haar leeftijd verwissel, krijg ik (totdat ik zelf weer jarig word) mijn leeftijd. En het was misschien wel de eerste keer dat dit me opviel, maar het was niet de eerste keer dat het gebeurde. Verder rekenend ontdekte ik dat het de vijfde keer in ons leven is dat ons dit overkomt. Een lustrum!

U vraagt zich misschien af of ik niks beters te doen had, maar de moeder van mijn moeder, al lang overleden, is hiermee begonnen. Zij vroeg zich elk jaar op haar verjaardag hardop af of het zin had om haar leeftijd om te keren, of ze daar jonger door werd. Dus het komt door mijn jeugd.

Uiteraard dacht ik meteen: als ik het lustrum van mijn moeder en mij op Twitter zou zetten, kunnen mensen dan uitrekenen hoe oud ik ben?

Niet per se, blijkt als je erover nadenkt, maar ze zitten er hooguit één of twee jaar naast. Mijn moeder kan net 64, 74, 84 of 94 zijn geworden en dan ben ik dus 46, 47, 48 of 49. Andere opties zijn er niet.

Mijn moeder was 27 toen ze mij kreeg en het interessante is dat de wisseltruc alleen voorkomt (elke elf jaar) bij vrouwen die een veelvoud van negen jaar oud waren toen ze het betreffende kind kregen. Maar waarom is dat zo? En is ‘waarom is dat zo’ eigenlijk wel een zinnige vraag, of is het een vraag in de trant van ‘waarom is drie plus vier eigenlijk zeven’, een vraag waar je alleen „nou gewoon, het is nou eenmaal zo” op kunt antwoorden?

Ik vroeg het aan wiskundige Klaas Pieter Hart van de TU Delft, die er op de fiets wel even over wilde nadenken. Vooral over de vraag wanneer een vraag een zinnige vraag is, want dat alleen moeders die bij de geboorte van haar kind een veelvoud van negen jaar oud zijn het omkeerverschijnsel overkomt, dat heeft hij zó uitgelegd.

Dat komt gewoon doordat we tientallig werken. Een tweecijferig getal van de vorm ab = 10a + b (bijvoorbeeld mijn moeders leeftijd 74 = 70 + 4), heeft dan als omgekeerde ba = 10b + a (bijvoorbeeld mijn leeftijd 47 = 40 + 7). De leeftijd van de moeder bij geboorte van het kind is altijd een negenvoud, omdat abba = 10a + b – (10b + a) = 9(a b) met a en b nog steeds gehele getallen onder de tien. Simpel. „Dit soort verschijnselen is welbekend”, zegt Hart.

Maar is het een zinnige vraag? Daarvoor moest Hart een extra stukje omfietsen. Want wat is een zinnige vraag? „Bij elk wiskundig resultaat kun je, als de redenering correct is, zeggen ‘het is nu eenmaal zo’: je hebt iets afgesproken, je bent gaan redeneren en dit is het gevolg.” Hij vindt eigenschappen van getallen die onafhankelijk zijn van het notatiesysteem wel interessanter.

„Voor de Romeinen is er met de leeftijden van jou (XLVII) en je moeder (LXXIV) niets speciaals aan de hand.” Aan de andere kant: „Het decimale systeem is zo in ons denken ingebakken dat we de getallen met hun decimale representatie zijn gaan vereenzelvigen. Eigenschappen die uit die representatie voortvloeien worden dan vanzelf ook interessant en zinnig voor ons.”

Of, zoals in dit geval, gezellig.