De wiskunde van een sofa in de bocht

In de hilarische roman Dirk Gently’s holistisch detectivebureau van de Britse auteur Douglas Adams komt een sofa tijdens een verhuizing halverwege de trap in een volkomen onmogelijke positie klem te zitten. Verder naar boven of terug naar beneden: het is allebei onmogelijk. „Ik ben nooit gestoten op niet-omkeerbare mathematica wat sofa’s betreft. Zou een nieuw gebied kunnen zijn”, oordeelt professor Urban Chronotis, een van de personages uit de roman, waarop hij vervolgt: „Heb je met wiskundigen op het gebied van ruimtetechniek gesproken?”

De ruimtelijke meetkunde inzake sofa’s zou inderdaad best onontgonnen terrein kunnen zijn. Maar in twee dimensies werd er al twintig jaar vóór het verschijnen van deze roman over nagedacht.

In 1966 stelde de Oostenrijks-Canadese wiskundige Leo Moser een lijst op van vijftig openstaande meetkundige problemen. Een daarvan is het nog altijd onopgeloste sofaprobleem. Uitgangspunt is een één meter brede gang die een rechte hoek maakt. Moser vroeg naar het grootst mogelijke oppervlak dat door die gang kan bewegen. Je kunt dit oppervlak opvatten als het bovenaanzicht van een sofa. Mooi of comfortabel hoeft de sofa niet te zijn, het gaat om de oppervlakte: die moet maximaal zijn. Het probleem van Moser is tweedimensionaal: je mag de sofa verschuiven en draaien, maar niet kantelen.

Na 51 jaar is er nu een nieuwe oplossing voor het sofaprobleem gevonden. De wiskundige Dan Romik vond een mogelijk optimale sofa die twee draaiingen kan maken in plaats van één.

De simpelste sofa die door de gang kan, is een vierkant van één bij één meter, maar die is verre van optimaal. Een halve cirkel met een straal van één meter vormt ook geen probleem; de oppervlakte van zo’n sofa is π/2 ≈ 1,5708 vierkante meter. De eerste sofa die in de buurt van de optimale oplossing komt, werd in 1968 gevonden door de Brit John Hammersley. De Hammersley-sofa is opgebouwd uit twee kwartcirkels met straal 1, met daar tussenin een rechthoek van 4/π bij 1 waaruit een halve cirkel met straal 2/π is weggesneden. Wie de stelling van Thales kent, kan zelf beredeneren waarom deze sofa, met een oppervlakte van π/2 + 2/π ≈ 2,2074 vierkante meter, de hoek om kan.

Lange tijd werd gedacht dat de Hammersley-sofa optimaal is, tot de Amerikaan Joseph Gerver in 1992 de sofa-wiskundigen verraste met een oppervlak dat nét iets groter is. Gervers sofa oogt nauwelijks anders dan die van Hammersley, maar de constructie is flink ingewikkelder. De rand van de Gerver-sofa bestaat uit drie rechte lijnstukken en vijftien gekromde delen. Elk gekromd deel beschreef Gerver met een formule.

Die formules ogen nogal bizar. Het blijkt onmogelijk om die gekromde delen in ‘gesloten vorm’ weer te geven. Dat betekent dat er geen expliciete formule in termen van de bekende wiskundige constanten (zoals π) en functies (zoals sinus) voor die delen bestaat. De enige manier om ze weer te geven, is in termen van vier numerieke constanten (A, B, θ en φ) die de oplossing zijn van een stelsel van vier vergelijkingen. Eén zo’n vergelijking ziet er zo uit: A(cos θ – cos φ) – 2B sin φ + (θ – φ – 1) cos θ – sin θ + cos φ + sin φ = 0. De oppervlakte van de Gerver-sofa komt, op vier decimalen afgerond, op 2,2195 vierkante meter. Ten opzichte van de Hammersley-sofa is dat een verbetering van iets meer dan een half procent.

Kan het nóg beter? Men denkt van niet. Maar dat dacht men bij de oplossing van Hammersley ook. Toch heeft Gerver wel een reden om optimistisch te zijn over zijn oplossing. Hij bewees weliswaar niet dat zijn sofa optimaal is, maar hij wist wel voorwaarden op te stellen waaraan de optimale sofa in elk geval moet voldoen en hij toonde aan dat dat bij zijn sofa wel snor zit. Zo is de Gerver-sofa de limiet van een zogenaamde ‘uitgebalanceerde’ veelhoek. Vergelijk het met een cirkel die de limiet is van een regelmatige veelhoek: neem je een regelmatige veelhoek waarvan het aantal hoeken steeds groter wordt, dan wordt de perfecte cirkel steeds beter benaderd.

Rare uitstulpingen

Tweedimensionale optimaliseringsproblemen zijn ook onderdeel van het middelbare school-programma. Maar anders dan in de bekende eindexamensommen, waarin bijvoorbeeld de oppervlakte van een rechthoek binnen de grenzen van een parabool gemaximaliseerd moet worden, legt Moser geen enkele eis op aan de vorm van de sofa. Of hij nu rechthoekig is of een of andere bizarre vorm met rare uitstulpingen vertoont: alles mag, zolang de sofa maar de hoek om kan.

Die vrije vorm maakt het zo complex om de sofa wiskundig te beschrijven. Met twee of drie coördinaten, of met welk eindig aantal coördinaten ook, lukt het niet. Ondanks de tweedimensionale vorm van de sofa is de wiskundige beschrijving ervan oneindig-dimensionaal. Dat is een van de redenen die het probleem zo hardnekkig maken.

„Tegelijkertijd is er altijd een kans dat iemand een makkelijke oplossing vindt, waarna we ons verbazen dat niemand daar eerder op was gekomen,” zegt Dan Romik. Romik is een wiskundige van de universiteit van Californië in Davis en publiceerde onlangs de mogelijk optimale oplossing van een variant op het originele sofaprobleem.

Van Moser hoeft de sofa maar één draai te kunnen maken: negentig graden linksom óf rechtsom. Wat is de grootst mogelijke sofa die beide draaiingen moet kunnen maken? Over deze variant is al vaker nagedacht, onder meer door John ‘Game of Life’ Conway, maar tot een bevredigende oplossing kwam het nooit. Tot nu.

In een artikel dat binnenkort in het tijdschrift Experimental Mathematics verschijnt, maar nu al online is gepubliceerd, presenteert Romik een sofa die goede kans heeft om de optimale oplossing te zijn. De Romik-sofa ziet er een beetje uit als een bikinitopje en heeft, afgerond op vier decimalen, een oppervlakte van 1,6450 vierkante meter. In een filmpje dat hij voor Numberphile maakte, laat Romik zien hoe een 3D-geprint model van zijn sofa de twee draaiingen kan maken.

De Romik-sofa bestaat uit achttien gekromde delen, die – in tegenstelling tot de Gerver-sofa – allemaal in ‘gesloten vorm’ beschreven kunnen worden. Dat maakt het ook mogelijk om een gesloten uitdrukking te geven voor de exacte waarde van de oppervlakte.

Om tot dit resultaat te komen, gebruikte Romik ten dele dezelfde methoden als Gerver, aangevuld met nieuwe ideeën. Dat leidde tot een serie van zes differentiaalvergelijkingen en vele regels computercode. Of de gevonden vorm werkelijk de optimale is, is – net als bij de Gerver-sofa – onbewezen. Maar Romik heeft goede hoop. „Ik maakte enkele aannames over de eigenschappen waaraan de optimale sofa moet voldoen. Die aannames lijken redelijk en daarom is het plausibel dat de gevonden vorm inderdaad optimaal is”, zegt hij, doelend op onder meer differentieerbaarheidseisen van de krommen die de sofa beschrijven. Maar hij beklemt dat er geen zekerheid is zolang die aannames onbewezen zijn.