Recensie

Tien keer achtereen zes gooien, dat kan toch niet? Jawel!

Statistiek

‘Wat een toeval!!!’, denken we vaak. Welnee, leert de statistiek ons: denken in waarschijnlijkheden is gewoon ons zwakke punt. Toch is er veel reden om daar wat aan te doen, bijvoorbeeld in de rechtspraak.

Een dobbelsteen waarmee je steeds weer hetzelfde getal gooit of een rouletteballetje dat achter elkaar op zwart valt. Ons brein is slecht toegerust om dit soort ‘toevalligheden’ volgens de wetten van de kansrekening te analyseren. Istock

Tijdens een vakantie in Parijs in de jaren twintig van de vorige eeuw struint de Amerikaanse kinderboekenschrijfster Anne Parrish de boekenstalletjes aan de Seine af en vindt daar een exemplaar van het boek dat als kind een van haar favorieten was geweest. Als ze het ’s avonds aan haar echtgenoot laat zien, ontdekt deze dat haar eigen naam en adres op de schutpagina zijn geschreven: ze heeft haar eigen exemplaar teruggekocht.

Het is een van de vele anekdotes die onder het kopje ‘Toeval?’ de ronde doen in de literatuur en op het Internet. We hebben vast allemaal wel eens iets meegemaakt wat bij nader inzien wel heel erg onwaarschijnlijk leek.

Volgens wiskundige Joseph Mazur is daar echter niets mysterieus aan. In zijn boek Fluke legt hij mooi uit hoe op het oog onwaarschijnlijke gebeurtenissen vaker voorkomen dan menigeen wel denkt. De wereld is enorm groot en we zijn door allerlei connecties en relaties verbonden met een heleboel anderen. Als iemand ons belt net op het moment dat we aan diegene denken, onthouden we dat, terwijl we vergeten hoe vaak we aan mensen denken zónder dat die ons vlak daarna bellen. Ons brein is gewoon erg slecht toegerust om dit soort ‘toevalligheden’ volgens de wetten van de kansrekening te analyseren: denken in termen van waarschijnlijkheden is niet ons sterkste punt.

Casino’s en loterijen maken daar dankbaar gebruik van. Het is dan ook geen wonder dat die de achtergrond vormen voor tal van anekdotes in Kansrekening van alledag, bijeengebracht en van commentaar voorzien door Henk Tijms. Deze emeritus-hoogleraar aan de VU is een autoriteit op kansrekeninggebied en schreef er de afgelopen jaren vele artikelen (onder andere in The New York Times) en boeken over.

Rouletteballetje 26 keer op zwart

Dit deeltje uit de Epsilon Uitgaven, een populair-wetenschappelijke reeks over wiskunde, lijkt meer bedoeld voor gevorderde lezers. Voor wie echter niet bang is voor wat formules, openen zich mooie vergezichten. Wel is het jammer dat een nadere uitleg van die formules veelal ontbreekt. Zo had ik graag beter begrepen waarom het te verwachten was dat op 18 augustus 1913 het rouletteballetje in het casino van Monaco juist 26 keer achter elkaar op zwart viel, daarmee een gekte ontketenend waarbij steeds grotere bedragen op rood werden ingezet naarmate de reeks vorderde. Een mooie illustratie van ons onvermogen om rationeel over kansen te denken. Natuurlijk is het verleidelijk te denken dat de kans op ‘rood’ tijdens zo’n reeks steeds groter wordt, maar een rouletteballetje heeft geen geheugen en is niet in staat om de uitkomst te sturen.

Dat iemand een gokje wil wagen in een casino of met een loterij is tot daar aan toe, maar kansen en statistiek spelen op andere terreinen een veel ingrijpender rol, bijvoorbeeld waar het onze gezondheid aangaat. Het wordt steeds populairder om – al dan niet zelf – testen te doen en op grond van bloed of DNA te bepalen of we een bepaalde aandoening hebben of de kans lopen deze te krijgen.

Maar ook hier liggen allerlei misvattingen op de loer. Gelukkig biedt neurowetenschapper Daniel Levitin uitkomst. In zijn Field guide to lies and statistics legt hij onder meer uit dat een positief resultaat in een test op borstkanker („90% correct!”) niet direct hoeft te betekenen dat je de ziekte ook daadwerkelijk hebt. Die 90 procent betekent dat als een vrouw borstkanker heeft, dat in 9 van de 10 gevallen met de test wordt aangetoond.

Maar er is ook zoiets als een vals-positieve uitkomst, een positief testresultaat bij iemand die de ziekte helemaal niet heeft. Daarvan uitgaande, laat Levitin met een paar simpele berekeningen zien dat de kans op borstkanker voor een vrouw die positief test ‘slechts’ 9,4 procent is. Zijn boodschap aan de lezer is dan ook te allen tijde kritisch te blijven en zich af te vragen hóe iets is gemeten, of de nauwkeurigheid van de metingen wel klopt en of de gebruikte meet- en analysemethode wel de juiste waren.

Apert onjuiste conclusies

Hoe relevant die laatste vraag is, wordt pijnlijk duidelijk uit Chancing it, van de Engelse wetenschapsjournalist Robert Matthews: een soms hilarisch, en soms navrant overzicht van fouten en misvattingen op het gebied van de kansrekening. Daarmee is dit boek verplichte kost voor iedereen die zich bijvoorbeeld professioneel met rechtszaken bezig houdt, maar eerst en vooral een ode aan Thomas Bayes.

Deze Engelse dominee leidde in de 18e eeuw een simpele wiskundige regel af, waarmee het mogelijk is het voor handen zijnde feitenmateriaal te analyseren, op grond daarvan voorspellingen te doen en die weer aan te passen zodra er nieuwe informatie beschikbaar komt.

Dat mag een geëigende methode lijken om de resultaten van wetenschappelijk onderzoek te analyseren, toch is Bayes binnen de medische of de sociale wetenschappen erg omstreden: statistici verfoeien zijn theorema, omdat het subjectiviteit zou toelaten in de statistiek.

Het alternatief is toetsing aan de hand van p-waarden, die met name de biomedische en sociale wetenschappen veel wordt gebruikt. Die leidt echter, zoals Matthews aan de hand van voorbeelden overtuigend illustreert, vaak tot apert onjuiste conclusies. Tot nu echter hebben de uitgebreide discussies over dit onderwerp de afgelopen twintig jaar niet tot enige verandering geleid. Waarmee nog maar is wordt aangetoond dat er op het gebied van statistiek en kansrekening voor iedereen nog veel te leren valt.