Superefficiënt cadeaus inpakken met wiskunde

Iedere week beantwoordt de wetenschapsredactie een vaak gestelde vraag. Vandaag: wat is het kleinste vel papier om een doos bonbons of een blik tonijn mee in te pakken?

De harde deadline voor het heerlijk avondje nadert. Thuis betekent dat vooral dat er weer vele rollen cadeaupapier zullen sneuvelen in het inpakgeweld. Met als resultaat: overgebleven reepjes pakpapier waar niets meer mee te beginnen is.

Er moet toch een truc zijn om altijd passend cadeaupapier uit te knippen én zo weinig mogelijk papier te verspillen?

Ja, die is er. Inpakken is een wiskundig probleem. En als de wiskunde ergens bij kan helpen, is dat het vinden van optima en minima. Geen zorgen. Voor deze introductie in de inpakkunde is middelbare school-wiskunde genoeg. Laten we beginnen met de meest voorkomende cadeautjesvorm: de balk. Boeken, chocoladeletters en doosjes parfum, ze zijn wiskundig allemaal te beschouwen balken met lengte l, breedte b en hoogte h. De oppervlakte die met cadeaupapier moet worden bedekt is in principe gelijk aan 2(l*b + l*h + h*b).

In principe. Het is onmogelijk een stuk cadeaupapier uit te knippen dat precies past zonder het papier in te knippen. Wie één stuk papier uitknipt, moet accepteren dat het inpakpapier hier of daar dubbel vouwt. Die dubbele papierlagen zo veel mogelijk vermijden, dat is de opdracht voor de zuinige inpakker.

Bij de traditionele inpakaanpak gaat dat verrassend goed (een cadeau inpakken met één lange, dwarse naad en twee keer twee ingevouwen flappen aan de korte kanten).

Een rechthoekig stuk cadeaupapier met lengte gelijk aan 2(l+h) blijkt genoeg om omslag, achterflap, rug en de bladzijde-zijde te bedekken. In de breedte moet het papier minstens b+h lang zijn, om netjes aan de korte kant aan te sluiten. Daaruit volgt dat de oppervlakte van het stuk papier gelijk is aan 2(l*b + l*h + h*b + h2). Dat is dus 2h2 meer papier dan het theoretische, ingeknipte optimum. De verkwisting zit in de naar binnen gevouwen flapjes. Niet slecht.

Diagonaal inpakken

Maar er bestaat een andere methode. Sommige inpakkers zweren bij het diagonaal inpakken. Ze plaatsen het cadeau midden op een vel en vouwen de hoekpunten als een envelop naar binnen. Wie het goed uitkient, laat bovenop alle hoeken samenkomen. Het ziet er elegant uit, en voor cadeaus met een vierkante basis (denk: doos bonbons) blijkt evenveel papier nodig is als voor de traditionele vouwverpakking.

We gaan uit van een vierkant cadeau met zijden l0 en hoogte h. De diagonale inpakker heeft een vierkant stuk papier nodig met zijden die gelijk zijn aan de diagonaal (2 * l) plus 2 * h. Dat is een stuk papier met oppervlakte 2(l2 + 2l*h + h2). Voor traditioneel inpakken is de uitkomst hetzelfde. Reken maar na.

Als het niet uitmaakt, waarom dan toch diagonaal vouwen? Wie diagonaal vouwt, kan eenvoudig streep- en stippatronen op elkaar laten aansluiten. En voor de zuinigerds: wie de hoekjes naar binnen vouwt, heeft maar één stukje plakband nodig.

En er is nog een voordeel: onervaren inpakkers die op het oog knippen, hebben de neiging om het papier te breed en te kort te knippen. Gooi zo’n vel niet meteen weg. Diagonaal past het cadeau misschien wel.

Tot slot een cilindervormig cadeau, met straal r en hoogte h. Wie de cilinder inrolt, heeft een vel papier nodig van (h+2r) * 2πr (de omtrek van een cirkel).

Rollen of vouwen?

Maar dat is niet de enige manier: in theorie is een cilinder ook in te pakken op traditionele wijze, door te vouwen. Als we de cilinder als balk beschouwen, is de oppervlakte van het benodigde papier is dan 2(h + 2r)2.

Wat is wijsheid? Los de vergelijking (h+2r) * 2πr = 2(h + 2r)2 op en zie: het omslagpunt ligt bij r = h/(π-2). Met andere woorden: pak het cadeautje liever in als balk als het een platte cilinder is – denk aan een blikje tonijn. De verhouding tussen straal en hoogte moet groter zijn dan ongeveer 0,876. Voor langwerpige cilinders met een veel kleinere straal dan hoogte (denk: bus Pringles) loont het om te rollen.