Nicomachus-dag

Vandaag getallen en vormen voor gevorderden. De figuur hiernaast kan je zo natekenen of groter maken. Maar: er zit wiskunde in verborgen. Hoe?

Je ziet snel genoeg dat de vakjes breder worden van links naar rechts. Het eerste vakje bestaat uit één ruitje. Die ernaast is twee ruitjes breed, dan drie ruitjes, vier... Net zo is het als je van beneden naar boven loopt.

Als je de vakjes kleurt, zie je misschien al het patroon. Steeds grotere vierkanten vouwen zich om elkaar. Zoals drie vierkanten van 3x3 ruitjes. En vijf vierkanten van 5x5. En daartussen? Daar is het anders. Maar kijk, de twee vakjes met twee ruitjes zijn samen één vierkant van 2x2. En zie je de helften van één vierkant van 4x4?

Precies, dat is het patroon! Het grote vierkant bestaat uit een vierkant met 1 ruitje, twee vierkanten van 2x2, drie van 3x3, vier van 4x4... En zo kan je door gaan als je steeds één even vierkant (2x2, 4x4...) doormidden knipt.

En de wiskunde? Die zit in het oppervlak van het vierkant. Het oppervlak is de lengte maal de breedte. Hier: (1+2+3+4+5)x(1+2+3+4+5). Anders geschreven: (1+2+3+4+5)2. Maar: het oppervlak van het vierkant is ook het oppervlak van al die kleinere vierkantjes samen. Dus 1 + 2x(2x2) + 3x(3x3) + 4x(4x4) + 5x(5x5). Of anders: 13+23+33+43+53.

Voilà: (1+2+3+4+5)2=13+23+33+43 +53 dus. En die relatie geldt ook als de rij getallen verder doorloopt. Wiskundigen zeggen: het kwadraat van de som van 1 tot en met n (hier is n=5) is gelijk aan de som van de derdemachten van 1 tot en met n. Poeh, de ‘stelling van Nicomachus’ is in de figuur gevangen.