Nieuwe priemtweeling ontdekt, van 388.342 cijfers

Spiralen van natuurlijke getallen, met priemgetallen benadrukt. Illustratie Robson#/Flickr

Deze maand is een nieuw record gevestigd in het zoeken naar speciale getallen. Het ging deze keer om een priemtweeling: twee priemgetallen die precies 2 van elkaar verschillen. Met 388.342 cijfers is dit getallenpaar de grootst bekende priemtweeling tot nu toe. Het vorige record, uit 2011, telde ‘slechts’ 200.700 cijfers.

De getallen 2.996.863.034.895 × 21.290.000 + 1 en 2.996.863.034.895 × 21.290.000 – 1 zijn beide priem (dat wil zeggen: slechts deelbaar door 1 en zichzelf) en hun verschil is 2; ze vormen dus een priemtweeling.

De nieuwe tweeling werd gevonden door de Amerikaan Tom Greer. Hij is een van de deelnemers aan het project PrimeGrid, dat als doel heeft om grote, speciale priemgetallen met behulp van een computer te vinden. In de categorie priemtweelingen gaat het om priemgetallen van de vorm k × 2n + 1 en k × 2n – 1, waarbij k en n positieve gehele getallen zijn.

Spoeling wordt dun

Voorbeelden van kleine priemtweelingen vind je gauw: 3 en 5, 5 en 7, 11 en 13, 17 en 19, … Maar dat de spoeling dun wordt naarmate we hoger opklimmen, staat vast. In 1919 bewees de Noorse wiskundige Viggo Brun dat er zó weinig priemtweelingen bestaan, dat de som van de ‘omgekeerde priemtweelingen’, dus 1/3 + 1/5 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + …, niet boven een bepaalde grens uitkomt. Dat geldt niet voor de som van alle ‘omgekeerde priemgetallen’: die wordt willekeurig groot, al is de convergentie uiterst traag.

Illustratie Wikipedia

De eerste 500 priemgetallen. Nrs 498 en 499 (rechtsonder) vormen ook een priemtweeling. Maar er zijn er in deze lijst nog veel meer te vinden. Illustratie Wikipedia

Oneindig veel tweelingen

Een befaamd onopgelost probleem in de wiskunde is de vraag of er oneindig veel priemtweelingen bestaan. Ondanks Bruns stelling vermoedt men dat de priemtweelingen nooit helemaal zullen uitsterven.
Drie jaar geleden kondigden twee wiskundigen, onafhankelijk van elkaar, een baanbrekend resultaat aan: er zijn oneindig veel koppels priemgetallen die minder dan een vast getal d uit elkaar liggen. Yitang Zhang bewees dit voor d = 70.000.000 en James Maynard voor d = 600. Het priemtweelingprobleem krijg je als je voor d de waarde 2 invult.