Dubbele dagen

Laten we van vandaag een dubbele dag maken. Van 28-5 maken we 285, en dat schrijven we als 285285. Dan kan ik meteen zeggen dat 285285 deelbaar is door 13. Net zoals 295295. Of 789789.

Het zit in de vorm. Alle getallen met de vorm ABCABC kun je delen door 13. En daar kun je mee verder goochelen.

Vraag of je broer, zus of vriend(in) een getal met drie cijfers op een briefje schrijft (en het niet aan jou laat zien!). Vraag ze daarna om hetzelfde getal er achteraan te plakken – zoals hierboven. Zeg dan geheimzinnig: „Hm, ik weet het niet..., maar eh, ik denk dat je jouw getal kunt delen door... 13.”

Jouw ‘proefkonijn’ kan dat uitrekenen. Klopt het? Tuurlijk. Laat hem of haar de uitkomst meteen opschrijven. Zeg nu: „Hm, kun je je nieuwe getal delen door 11? Ik denk het wel.” En dan, bij de nieuwe uitkomst: „Als je deze uitkomst nu door 7 deelt, vind je het getal waarmee je begon.”

En ja hoor, of jouw proefkonijn nu was begonnen met 981 of met 212: Jij hebt altijd gelijk!

Waarom? Een getal met de vorm ABCABC is gelijk aan ABCx1001. Probeer maar. Maar: 1001 = 13x11x7.

Die getallen 7, 11 en 13 zijn priemgetallen: alleen deelbaar door 1 en zichzelf. Daarmee zijn het de kleinste delers van 1001. Want: was een deler niet de kleinste (zoals 77), dan kon je hem nog door een ander getal dan zichzelf delen. Ofwel: elk positief geheel getal kan je schrijven als het product van priemgetallen. Wat plechtiger: kun je ontbinden in priemfactoren.

Zoals 1001 dus. En nu is het simpel: als je ABCx13x11x7 deelt door 13, 11 en 7, vind je... ABC. Voilà!