vormen en getallen: De verjaardag van Kees Foet

Toen Kees Foet laatst 74 werd, werd zijn dochter 47. Het was niet de eerste keer dat hun leeftijden elkaars omgekeerde waren. Elf jaar eerder werd hij 63 en zij 36. Elf jaar daarvoor werd hij 52 en zij 25. Nog 11 jaar terug werden zij 41 en 14, en het begon 11 jaar dáárvoor met 30 en 03.

Komt dat vaker voor, vroegen ze? En heeft het te maken met die 11 jaar en met 27 jaar (hun leeftijdsverschil)?

Ja en ja. Om met de eerste ja te beginnen: Neem een vader en dochter die 02 en 20 jaar zijn (18 jaar verschil). Na 11 jaar zijn zij 13 en 31. Weer 11 jaar later zijn zij 24 en 42 en zo verder. Het komt dus vaker voor.

Ook in dit voorbeeld zit 11 jaar. Maar niet de 27. Wel is er iets wat 18 en 27 delen: allebei zijn het veelvouden van 9. Die horen bij omkeringen.

Dat zie je meteen in de tafel van 9. Die begint en eindigt met 09 en 90 en daartussen gaat het cijfer links één omhoog, dat rechts één omlaag. Zo passeer je 18 en 81, 27 en 72...

Met formules zie je het beter. Je kunt een getal schrijven als ax10+bx1, waarbij a en b cijfers tussen 0 en 9 zijn. Het omgekeerde is dan bx10+ax1. Als a=8 en b=1, krijg je zo 81 en 18. Het verschil tussen die twee getallen, is dan: (ax10+bx1)-(bx10+ax1). Dat is hetzelfde als (ax10-ax1)-(bx10-bx1). Wat weer hetzelfde is als ax9-bx9 = (a-b)x9. Dus: een veelvoud van 9. Voor Kees en zijn dochter is dat 3x9=27.

En de 11 jaar? Dat zie je zo. Om de 11 jaar gaat het tiental één omhoog en het laatste cijfer ook. In formule: (a+1)x10+(b+1)x1 voor Kees. En (b+1)x10+(a+1)x1 voor zijn dochter. Alweer een omkering! Het houdt natuurlijk wel een keer op. Zie je waar?