vormen en getallen: Een oude vraag

Vandaag geschiedenis. Daarom een oude vraag. Hoe bepaal je π? Dat vroegen de Oude Grieken zich al af. Zij zeiden: π hoort bij cirkels. Beter: de omtrek (de rand, ‘O’) van een cirkel is altijd even lang als de diameter ( ‘D’) maal π. Als formuletje: O=π x D.

Een cirkel met diameter ‘1’ heeft dus een omtrek π. Alleen: wat heb je daaraan als je π niet kent? En als je de omtrek van een cirkel niet op een andere manier kan bepalen? Dan zit je met een kip-ei-probleem.

De wijsgeer Archimedes probeerde daarom de omtrek van de cirkel te schatten. Hij ving hem in een vierkant met zijden ‘1’. De omtrek daarvan is ‘4’. Dus: π is kleiner dan 4.

In de cirkel tekende hij een zeshoek. Die bestaat uit zes driehoeken waarvan alle zijden steeds ½ D zijn, hier dus ½. De omtrek van de zeshoek (zes zijden) is dan 6 x ½ =3. Ofwel: π is groter dan 3. En: π zit dichter bij 3 dan bij 4, want de zeshoek past beter.

Van de zeshoek ging Archimedes naar de twaalfhoek, die nog beter past. Nu had hij een Oud Griekse collega nodig: Pythagoras. Die had laten zien dat in een driehoek met één rechte hoek: a2+b2=c2. Daarmee kon Archimedes in stappen (blauwe, gele, roze lijn, en die keer 12) de omtrek van de twaalfhoek uitrekenen.

Zo ploeterde hij door tot de 96-hoek. Net zo liet hij de figuur buiten de cirkel steeds beter passen. Zo vond hij: π zit tussen 3 10/71 en 3 1/7. En allebei die breuken geven 3,14 – ga maar na. Daarna beginnen de decimalen (cijfers na de komma) te verschillen, maar Archimedes wist: π=3,14....

Met formules en computers zijn er intussen 13 biljoen cijfers achter gezet.