Jagen op achterneven van priemtweeling

Twee onbekende wiskundigen bewezen een stelling over de gaten tussen opvolgende priemgetallen – onafhankelijk van elkaar en met verschillende methoden. Wel gebruikten beiden een ‘getallenzeef’ bij deze doorbraak. Een van hen, James Maynard, is komende week in Nederland.

De getallenzeef van James Maynard heeft gaatjes op 105 posities: de getallen die op dit meetlint staan. Illustratie Roland Blokhuizen

Wiskundigen geven speciale getallen vaak onderhoudende namen, zoals priemtweelingen, priemneven, of sexy priemgetallen. Een priemtweeling is een paar priemgetallen – getallen die alleen deelbaar zijn door 1 en zichzelf – die twee van elkaar vandaan liggen, zoals 3 en 5, 11 en 13, of 137 en 139. Priemneven hebben een afstand van vier, bijvoorbeeld 3 en 7, of 67 en 71. En sexy priemgetallen liggen zes van elkaar vandaan, zoals 5 en 11, of 97 en 103.

Dat er oneindig veel priemgetallen bestaan, wisten de oude Grieken al. Maar naarmate je opmarcheert in de getallenrij, worden ze steeds zeldzamer. Onder de 100 zijn er 25 priemgetallen, onder de 1.000 zijn er 168, en onder de 10.000 zijn er 1.229. De Duitser Gauss (1777-1855) ontdekte dat het aantal priemgetallen kleiner dan een zeker getal n in de buurt ligt van n/ln(n), waarin ln de natuurlijke logaritme is. Dat betekent dat het getal ln(n) een benadering is voor de gemiddelde afstand tussen twee naast elkaar gelegen priemen onder de getallen tot aan n.

Doordat de gemiddelde afstand tussen twee priemen alsmaar toeneemt, is het denkbaar dat er op een gegeven moment geen priemtweelingen, priemneven of sexy priemen meer zijn. Wiskundigen vermoeden echter dat ze nooit helemaal zullen uitsterven, maar het wil maar niet lukken om dat te bewijzen. Met name de tweelingenvraag is een beroemd onopgelost vraagstuk in de wiskunde.

Obscuur type

In 2009 studeerde de Brit James Maynard (1987) in de wiskunde af in Cambridge. Toen hij als promovendus verder ging in Oxford, werd hij geprikkeld door een stelling uit 2005 van Daniel Goldston, János Pintz en Cem Yildirim. Dat drietal wiskundigen had een stelling bewezen over de verdeling van priemgetallen.

De vraag die Goldston, Pintz en Yildirim zich stelden, was of er hoog op de getallenladder altijd maar weer priemgetallen opduiken die veel dichter bij elkaar liggen dan gemiddeld. Zij gingen uit van twee naastgelegen priemen, p en q. De afstand tussen die twee priemen deelden ze door ln(p), de afstand die je theoretisch mag verwachten. Ze konden bewijzen dat (q – p)/ln(p) oneindig vaak willekeurig dicht bij 0 komt. Dat was op zich een spectaculair resultaat, want het betekent dat er altijd weer priemgetallen opduiken die relatief dicht bij elkaar liggen. Maar het impliceert niet dat er oneindig veel paren van naastgelegen priemen bestaan die dichter bij elkaar liggen dan een vooraf gegeven, vast getal d.

Maynard besloot verder onderzoek te doen naar de theorie van Goldston, Pintz en Yildirim. Zonder vooropgezet plan trouwens. Het was helemaal niet zijn bedoeling om zo’n getal d te vinden. „Aanvankelijk dacht ik dat dat een veel te moeilijk probleem was,” zegt hij per e-mail. Maynard zou wel zien hoe ver hij zou komen.

Wat Maynard niet wist, was dat er in Amerika een nogal obscuur type rondliep dat ook bezig was met de gaten tussen opvolgende priemgetallen. Obscuur, omdat de man al dik in de vijftig was, nog niets van betekenis had gepubliceerd en een totale onbekende was in de wiskundige gemeenschap. Yitang ‘Tom’ Zhang was zijn naam, docent aan de universiteit van New Hampshire sinds 1999. Daarvóór werkte Zhang regelmatig in een vestiging van de broodjesketen Subway.

In het voorjaar van 2013 was Maynard al veel verder gekomen dan wat hij aanvankelijk durfde te hopen. „Door enkele technische aanpassingen in het werk van Goldston, Pintz en Yildirim lukte het me om behoorlijk wat vooruitgang te boeken.” De mogelijkheid om een concrete d te vinden, was opeens helemaal niet zo onrealistisch. Maynard had zijn bewijs bijna rond, toen Zhang ineens wereldnieuws werd.

Jarenlang, in complete afzondering, had Zhang aan zijn bewijs gewerkt. Referenten van het toptijdschrift Annals of Mathematics waren verbijsterd: Zhang had zijn bewijs kristalhelder opgeschreven. In een recordtijd van drie weken waren de Annals-redacteuren eruit: dit werk moest worden gepubliceerd. Een half jaar later, in november 2013, had Maynard zijn bewijs voltooid. Steekt het, dat Zhang hem nét voor was? Nee, zegt Maynard: „Ik was vooral heel blij dat ik mijn bewijs zelf rond heb gekregen. Zhang verdient alle lof die hem toekomt. Zijn bewijs is fantastisch en zijn methoden kunnen voor de toekomst van groot belang zijn.”

In de documentaire Counting from Infinity – Yitang Zhang and the Twin Prime Conjecture (2015) zegt wiskundige Peter Sarnak (Institute for Advanced Study, Princeton): „Het eerste bewijs is altijd het belangrijkste bewijs.” Daarom was Zhang wél nieuws en hoofdpersoon van de film, en Maynard niet. Zhang is overigens een bescheiden persoon. „Ik word niet graag als een held behandeld,” zegt hij in de film. Daarom heeft hij zijn baan aan de universiteit van New Hampshire behouden (in 2014 werd hij wel hoogleraar), ook al had hij elders meer kunnen verdienen. In New Hampshire voelt Zhang zich thuis: „Het is er rustig, hier kan ik doen wat ik wil.”

Maynard en Zhang gebruikten verschillende technieken, maar voor beiden was het belangrijkste gereedschap een zogeheten ‘getallenzeef’. Net als een zeef in de keuken, laat die iets door wat je behouden wilt en blijft datgene wat je niet meer nodig hebt achter in de zeef (of andersom). Een getallenzeef kun je je voorstellen als een liniaal (met maatverdeling), waarbij op een aantal posities een gaatje is geboord. Bijvoorbeeld bij de 0, 4, 6, 10 en 16. Leg je die zeef ergens op de getallenlijn, dan vallen precies die getallen door de zeef waar de gaatjes zitten. Ligt de 0 van de zeef op de 1, dan vallen dus 1, 5, 7, 11 en 17 erdoor. Hé, dat zijn allemaal priemgetallen! Schuif je de zeef nog een positie naar rechts, dan vallen 2, 6, 8, 12 en 18 erdoor. Alleen 2 is nu priem. Maar gaan we nog één meer naar rechts, dan vallen 3, 7, 9, 13 en 19 erdoor en dat zijn, op het getal 9 na, allemaal priemen. Ligt de 0 op de 7, dan behouden we weer louter priemgetallen: 7, 11, 13, 17 en 23.

Zeef met gaatjes op 105 posities

De vraag waar het Maynard en Zhang om ging, is deze: hoeveel priemgetallen vallen er door de zeef, als je de zeef op een willekeurige plek op de getallenlijn legt? Als de 0 op de 69 ligt, zijn het er twee, namelijk 73 en 79; de overige getallen (69, 75 en 85) zijn niet priem. En als de 0 op de 9.001 ligt, vallen er drie priemen door: 9.001, 9.007 en 9.011.

Elke keer als er twee (of meer) priemgetallen door de zeef vallen, heb je enkele priemen gevonden die hoogstens 16 (de diameter van de zeef, dat wil zeggen: de afstand tussen de twee uiterste gaatjes) van elkaar verschillen. Wie kan bewijzen dat het oneindig vaak voorkomt dat er minstens twee priemgetallen doorvallen, boekt een sterk resultaat, namelijk dat er altijd priemgetallen zullen opduiken die slechts 16 van elkaar verschillen, hoe hoog op de getallenladder je ook komt.

Of de voorbeeldzeef inderdaad oneindig vaak twee of meer priemen doorlaat, is nog steeds een open vraag. Maar wat Maynard in 2013 wist te bewijzen, was dat het mogelijk moest zijn een getallenzeef te vinden met een diameter van 600. Hij bewees het bestaan van zo’n zeef, zonder dat duidelijk werd hoe die zeef eruit zag. Met een computer lukte het om de zeef op te sporen. Hij heeft gaatjes op 105 posities.

De methode van Zhang is flink ingewikkelder. Zijn zeef bevatte zo’n 3,5 miljoen gaatjes en had een diameter van ongeveer 70 miljoen. Veel wiskundigen stortten zich op Zhangs bewijs en binnen de kortste keren wisten ze de diameter van Zhangs zeef terug te brengen tot een behapbare lengte.

Dat gebeurde via ‘Polymath’, een internetproject met als doel om gezamenlijk wiskundig onderzoek te doen. Bij Polymath-projecten kan iedereen de vorderingen volgen of zelf een bijdrage leveren. Bijna dagelijks werden er met de door Zhang ontwikkelde technieken kleinere zeven gevonden. In twee maanden tijd was de aanvankelijke diameter (70.000.000) gereduceerd tot 4.680.

Maynard hield zich in die maanden stil. Hij was bezig met zijn eigen bewijs. Lekker moet het hem niet hebben gezeten, dat Zhangs resultaat zo snel met meer dan een factor 1.000 verbeterd werd. Maar tot 600 wisten de Polymath-deelnemers niet te komen. Toen Maynard in november 2013 met zijn bewijs naar buiten kwam, was dat dus wel degelijk spectaculair. En niet alleen omdat zijn zeef nóg kleiner was, maar ook omdat zijn aanpak veel eenvoudiger bleek te zijn. Sarnak: „Maynards bewijs kun je uitleggen aan bachelor-studenten.”

Opnieuw werd een Polymath-project gestart om Maynards zeef te verbeteren. In tegenstelling tot Zhang nam Maynard er zelf volop aan deel. Het record staat sinds april 2014 op een zeef met een diameter van 246.

Kan, met de methode van Zhang of die van Maynard of een combinatie van die twee, worden bewezen dat een zeef met slechts gaatjes op de 0 en de 2 (de diameter is dan 2), werkt? In dat geval zou het klassieke priemtweelingvermoeden bewezen zijn. Maynard: „Nee, dat gaat niet lukken. De technieken kunnen toereikend zijn voor een zeef met een diameter van 6, maar dan houdt het op.” Het beste waar we dus met de bestaande methoden op kunnen hopen, is een bewijs dat er oneindig veel sexy priemgetallen bestaan. Voor de priemneven en de priemtweelingen moeten nieuwe technieken worden bedacht. De wereld van de priemgetallen blijft voorlopig nog vol geheimen.