Wederopstanding van een bewijs

Sir Andrew Wiles ontving dinsdag de Abelprijs voor het oplossen van de laatste stelling van Fermat.

Andrew Wiles kwam na zeven jaar in afzondering doorwerken met het bewijs voor een 350 jaar oud wiskundig probleem, de laatste stelling van Fermat. Foto AP

De laatste stelling van Fermat, over de vergelijking xn + yn = zn, was eeuwenlang het meest beruchte open probleem in de wiskunde. Voor n = 2 is de Fermatvergelijking de stelling van Pythagoras en in dat geval zijn er oneindig veel oplossingen, bijvoorbeeld 32 + 42 = 52. Fermats laatste stelling zegt dat de vergelijking voor n groter dan 2 geen enkele geheeltallige oplossing heeft.

Het Abelcomité noemt Wiles’ bewijs „overweldigend” en kent de prijs vooral ook toe omdat Wiles’ werk een nieuw tijdperk in de getaltheorie heeft geopend.

Dat de Britse wiskundige de Abelprijs een keer zou krijgen, stond wel min of meer vast. De vraag was alleen wannéér. Net als bij de Nobelprijzen zijn de laureaten vaak bejaard en worden ze geëerd voor onderzoek dat soms al decennia eerder is gedaan. Andrew Wiles is met 62 jaar de jongste Abelprijswinnaar ooit.

Als kind droomde Wiles er al van om Fermats probleem op te lossen. Toen hij tien jaar was en in de bibliotheek een wiskundeboek doorbladerde, viel zijn oog op de kinderlijk eenvoudig ogende laatste stelling van Fermat. Het fascineerde hem dat hij die stelling als tienjarige kon snappen. Vanaf dat moment was Wiles vastbesloten dit probleem op te lossen.

Pierre de Fermat had zijn stelling in 1637 in de kantlijn van de Arithmetica gekrabbeld met de mededeling dat hij hiervoor een ‘werkelijk schitterend’ bewijs had gevonden, dat ‘helaas niet in de kantlijn paste’. Het meest waarschijnlijk is dat Fermat helemaal geen bewijs had en dat hij dat zelf later ook had ingezien. Hij gaf immers, vele jaren ná zijn kantlijnnotitie, een bewijs voor het speciale geval n = 4.

Eeuwenlang probeerden wiskundigen Fermat op te lossen. Vooral toen aan het begin van de vorige eeuw Paul Wolfskehl 100.000 Duitse mark beschikbaar stelde voor de bedenker van een sluitend bewijs, was het raak: alleen al in het eerste jaar kwamen er 621 kromme bewijzen binnen.

In de jaren zeventig, toen Wiles’ carrière als wiskundige begon, was Fermat uit de gratie geraakt. Iedereen dacht dat die stelling onmogelijk te bewijzen viel. Wiles kreeg van zijn promotor het advies om zijn jeugddroom te vergeten en zich met moderne wiskundige problemen bezig te houden. Het werden elliptische krommen, vergelijkingen die in eerste instantie werden bestudeerd in verband met de lengte van planeetbanen, en modulaire vormen, complexe functies met veel symmetrie-eigenschappen.

Aanvankelijk leek het erop dat elliptische krommen en modulaire vormen niet met elkaar verweven waren. Maar in de jaren vijftig hadden twee Japanse wiskundigen, Taniyama en Shimura, een onverwachte brug geslagen: ze hadden een plausibele reden gevonden om aan te nemen dat elke elliptische kromme in feite een modulaire vorm is. Dit inzicht choqueerde de hele wiskundige wereld.

Het vermoeden van Taniyama en Shimura, ook bekend als het modulariteitsvermoeden, groeide uit tot een van de grote onbewezen vermoedens in de wiskunde. Maar wat had dit met de laatste stelling van Fermat te maken? In 1984 had de Duitser Gerhard Frey een spectaculaire ingeving: uit een hypothetische oplossing van de Fermatvergelijking kon een elliptische kromme worden geconstrueerd die níét modulair is. Maar volgens Taniyama en Shimura was juist élke elliptische kromme modulair. Dus als Fermats stelling onjuist is, is het modulariteitsvermoeden dat ook. En als het modulariteitsvermoeden juist is, is Fermat dat ook.

Toen in 1986 het idee van Frey werd bewezen, wist Wiles dat hij zich vanaf dat moment volledig met het modulariteitsvermoeden zou gaan bezighouden. Het was een verbluffende speling van het lot dat twee onderwerpen waarin Wiles zich had gespecialiseerd – elliptische krommen en modulaire vormen – precies de ingrediënten waren om Fermats laatste stelling te kunnen bewijzen.

Gedurende zeven jaar, in het diepste geheim, werkte Wiles aan de passie uit zijn kinderjaren. Alleen zijn vrouw wist waar hij mee bezig was. Fermat was zo’n beladen probleem; werken in afzondering was pure noodzaak. „Je kunt je er alleen jarenlang mee bezighouden als je je volledig kunt concentreren en dat lukt niet met zo veel toeschouwers”, vertelt Wiles in een bekroonde BBC-documentaire uit 1996.

In de zomer van 1993 kwam het grote moment: Wiles presenteerde zijn bewijs tijdens een congres in Cambridge. Het werd wereldnieuws. ‘Bewijs voor stelling Fermat is “waarschijnlijk correct”’, kopte deze krant op 1 juli 1993. Met het woord ‘waarschijnlijk’ werd een slag om de arm gehouden en dat bleek terecht. Toen collega’s het bewijs stap voor stap controleerden, werd een ernstige fout ontdekt. Wiles’ wereld stortte in, maar met behulp van zijn student Richard Taylor kon hij het gat dichten. In 1994 volgde de triomf alsnog en nog een jaar later besloeg het bewijs van Wiles en Taylor een heel nummer van Annals of Mathematics.

Het bewijs is veel méér dan de oplossing van een beroemd vraagstuk uit de zeventiende eeuw. Wiles liet zien dat er diepe verbanden bestaan tussen ogenschijnlijk verschillende wiskundewerelden die in de tijd van Fermat nog niet bestonden, en creëerde een gereedschapskist die in de afgelopen twee decennia tot vruchtbaar onderzoek in de getaltheorie heeft geleid.