Zomaar een somregel

Wat is de overeenkomst tussen het getallenpaar 4 en 10, het paar 6 en 21 en het paar 10 en 55? Dat vroeg lang geleden een meisje aan haar moeder. Die moeder was wiskundige en snapte het meteen.

Zie jij het ook? Als je alle getallen tot en met 4 optelt (dus: 1+2+3+4), dan is de uitkomst 10. Tel je alle getallen tot en met 6 op, dan vind je 21. En de getallen tot en met 10 geven samen 55.

Dat meisje vroeg dat niet zomaar. Ze had een regel gevonden. Als het getal even is (zoals dus 4, 6 en 10) kan je met die regel de som veel sneller uitrekenen. De regel is: Neem de helft van het getal, en vermenigvuldig die met het getal waar je 1 bij hebt opgeteld.

Voor 4 gaat het zo. De helft is 2. En 4+1=5. Samen geeft dat: 2x5=10.

Voor 6 wordt het: 3x(6+1)=3x7=21. En voor 10: 5x11=55.

Waarom is dat zo? Neem de som van 1,2,3,4,5 en 6. Omdat 6 een even getal is, kun je twee groepen maken met elk 3 getallen. Schrijf die onder elkaar zoals hiernaast: 1,2,3 in de bovenste en 6,5,4 in de onderste rij. Tel nu steeds het bovenste getal en het getal daaronder bij elkaar op. Dat is hetzelfde als alle getallen bij elkaar optellen. Alleen vind je nu dus: 3x7.

Doe je hetzelfde voor de getallen 1 tot en met 10 (twee rijen van 5 getallen), dan vind je: 5x11=55. Zie je dat het klopt met de regel, en waarom?

Het was natuurlijk slim van dat meisje, Tanitsjka Ehrenfest, dat toen pas 9 jaar was. Geen wonder dat ze later wiskundige werd. De beroemde Einstein vroeg haar zelfs soms om iets te helpen uitrekenen. Maar ja, zij werkte alleen maar soms aan de wiskunde – als ze er zelf zin in had.