Een kubieke dag

Het ziet er al zo goed uit: 27. Maar 27 is ook mooi omdat 27=3x3x3 =33. In woorden: 27 is drie tot de derde macht.

Wat moet je je voorstellen bij zo’n derde macht? Een kubus natuurlijk. Eentje waarin 3 vlakjes van 3 bij 3 zijn opgestapeld. Zoals hiernaast. Dat geeft samen 3x(3x3)=27.

En dat maakt vandaag een goede dag om eindelijk Jan Mars te antwoorden. ‘Help, waarom is dat zo?’, schreef hij een tijd geleden. Hij had gelezen dat je derde machten altijd kunt schrijven als de som van oneven getallen. Zoals in: 23=8=3+5. En in: 33=27=7+9+11. En in: 43=64=13+15+17+19. En in: 53=125=

21+23+25+27+29. Zie je het patroon?

En tja, waarom is dat er?

Neem de kubus die bij 33 hoort. Je kunt de 3 vlakjes van 3 bij 3 ook naast elkaar leggen, zoals hiernaast. Dan kun je daarna schuiven, tot je een vierkant krijgt met een hap eruit. In dit geval een vierkant van 6x6 met een hap eruit van 3x3.

Maar zo’n vierkant (daarover ging het al eens eerder) is óók de som van opeenvolgende oneven getallen. Dat zie je als je er winkelhaken in tekent, ook hiernaast. Het vierkant 6x6=36 is de som van de eerste zes oneven getallen (1+3+5+7+9+11). En de hap eruit (3x3) is gelijk aan de som van de eerste drie oneven getallen (1+3+5). Maar: dan is dus 33=(6x6)-(3x3)=7+9+11.

Je kan het weer doen met 43. Dat geeft een kubus met vier vlakjes van 4x4, die je kan neerleggen als een vierkant van 10x10, met een hap van 6x6 eruit. En dat is gelijk aan de som van de eerste 10 oneven getallen min de som van de eerste 6 oneven getallen.

Nou, 53 (of groter) is hierna een eitje.

    • Margriet van der Heijden