Worstkarren op de bolle Dam

De Dam in Amsterdam is niet echt een vierkant. Het is ook niet echt een plat vlak. Na de laatste herinrichting met die miljoenen esthetische steentjes uit Portugal is het eerder een deel van een bol geworden. Maar vandaag doen we of het een plat vierkant is zoals we dat kennen uit de gewone planimetrie.

Op dit vierkant midden voor het paleis staan dag in dag uit drie worstkramen. Ze worden er ’s ochtends tegen half elf naartoe gesleept en ’s middags om een uur of vier weer vandaan getrokken. Het zijn drie doodgewone worstkarren zoals er tientallen, misschien wel honderden op de mooiste plekjes van Amsterdam staan opgesteld. Ze zijn er voor de toerist, de toerist kijkt niet graag met lege mond naar cultuurschoon. In het Rijksmuseum kun je ook stevig eten.

De worstverkopers op de Dam staan in elkaars blikveld en ze zijn elkaars concurrent. Begrijpelijk dat ze zo ver mogelijk uit elkaar willen staan. Maar lukt ze dat ook? Staan de kramen wat dat betreft wel optimaal opgesteld? Daar gaat het om. Wie de Dam dagelijks voorbij fietst denkt soms dat het beter kan, maar vanaf de grond krijgt hij geen zekerheid. En als hij dan, eindelijk, de Dam eens bij Google Earth bekijkt, neemt de twijfel toe.

Zo begon de kleine exercitie van vandaag: met de vraag hoe je drie punten zó binnen een zuiver vierkant plaatst dat hun onderlinge afstand zo groot mogelijk is. Wie even wat schetsjes maakt heeft het antwoord snel gevonden, de gezochte punten zijn de hoekpunten van de grootst mogelijke gelijkzijdige driehoek die nog net binnen het vierkant past. Die driehoek laat één van zijn hoekpunten samenvallen met een hoekpunt van het vierkant en spiegelt ten opzichte van een diagonaal. Teken het!

De oplossing kent vier gelijkwaardige varianten en, om terug te keren bij de worstkarren, daar is er één bij die de ruimte voor Madame Tussauds heel behoorlijk vrij laat. Het lijkt er soms op alsof er bij Tussauds voor de deur geen worst verkocht mag worden.

Nu, vroeg of laat zal het daar toch van moeten komen. De middenstandsvereniging ‘I Amsterdam’, het Nutella-kartel en de leuke lui van de Negen Straatjes proberen de toestroom van toeristen te maximaliseren. Hun schoorsteentjes moeten roken. De dag waarop de vierde worstkar op de Dam verschijnt kan niet ver meer zijn. Er is ruimte zat en de wiskunde legt hier niets in de weg. Ook als volgend jaar de vijfde worstverkoper een plaatsje zoekt, is dat snel aangewezen.

De moeilijkheden beginnen pas als er nóg een kraam bij moet, in 2017 of 2018, wie zal het zeggen. Hoe rangschik je zes punten zó binnen een zuiver vierkant dat ze zo ver mogelijk uit elkaar liggen? Of preciezer gezegd: hoe zet je ze zó neer dat de kleinste afstand tussen twee punten zo groot mogelijk is? Want het gaat hier uitdrukkelijk niet om het gemiddelde van de 15 (= 5+4+3+2+1) onderlinge afstanden die er tussen de zes punten bestaan. De worstverkopers hebben vooral een individueel belang.

Er zijn computerprogramma’s die de juiste oplossing binnen een seconde op het scherm zetten, ongetwijfeld. Maar leuker is het om de verschillende mogelijkheden zelf te bedenken. Eerst met een lukraak trial-and-error, geleidelijk aan meer systematisch, met overwegingen van symmetrie, met wentelingen en omkeringen, optimalisering, maximalisering, enzovoort. Al doende krijg je er gevoel voor. ’t Nam alles bij elkaar nog heel wat tijd maar uiteindelijk zijn de vier oplossingen gevonden die hier als illustratie dienen. Ze zijn gerangschikt in afnemende volgorde, de beste vooraan. De laatste is afgeleid van een regelmatige vijfhoek en moest wat worden aangepast omdat zo’n vijfhoek niet mooi binnen een vierkant past. Het scheelt zo’n vijf procent. Het werk liet de puzzelaar tevreden maar niet helemaal gerust achter. Hoe stelt hij vast dat er geen betere oplossing is dan zijn beste oplossing? Met de pet in de hand bij een wiskundige aankloppen?

In wat hier nu als beste oplossing wordt gepresenteerd is de bedoelde kleinste afstand gelijk aan 0,60 z (met z de lengte van de vierkantszijde). De volgende heeft 0,59 z en het loopt af naar 0,55 z. Bij de optimale verdeling van vijf punten was de kleinste afstand 0,71 z. Bij vier punten is het z zelf. Bij drie: 1,15 z. Uit deze reeks put de puzzelaar zijn vertrouwen.

Enfin, de worstbranche zal wel een wiskundige in de arm nemen. Misschien kan die te zijner tijd nog in aanmerking nemen dat de Dam, zoals gezegd, niet langer plat is maar een deel van een bol is geworden. Naar schatting ligt het centrum een meter hoger dan de zijkant. Nemen we aan dat het Dam-vierkant zijden heeft van 60 meter dan valt met de stelling van Pythagoras te berekenen dat die bol een straal heeft van ongeveer 450 meter.

De voor de hand liggende vraag is nu of er niet veel minder esthetische steentjes nodig waren geweest als de gemeente de Dam maar gewoon plat had gelaten, de nieuwe metro wordt toch al zo duur.

Hoeveel groter is het manteloppervlak van een vierkant van 60 bij 60 meter dat geprojecteerd is op een bol met een straal van 450 meter dan een gewoon plat vierkant van 60 bij 60? Je gelooft het niet maar het scheelt bijna niets. Het Polytechnisch zakboekje heeft er formules voor en die komen uit op een verschil van nauwelijks meer dan één promille. Het had dus best boller gekund.