De graaf met negen punten

Vorige week kreeg Graaf Tel hier een driehoek van stippen: in elke rij een stip erbij. Tel je de stippen in zo’n driehoek, dan doe je dus eigenlijk niets anders dan 1+2+3+4+5+.... Tot je bij de onderste rij bent. En dat kan lang duren!

Zulke driehoeken geven je ook de ‘driehoeksgetallen’. Voor het eerste driehoeksgetal tel je de stippen in de bovenste rij, 1 dus. Het tweede driehoeksgetal is het aantal stippen in de twee bovenste rijen: ofwel 3 (1+2). Het derde (drie rijen) is 6 (1+2+3), het vierde 10 (1+2+3+4) en zo verder.

Leuk is, dat bij elk van die getallen nóg een graaf hoort. Een wiskundige graaf: eigenlijk niet meer dan wat punten met lijnen ertussen.

De ‘grafen’ van de driehoeksgetallen zijn ‘volledige grafen’. Dat betekent dat elk punt erin met rechte lijnen is verbonden met alle andere punten.

Of anders: Tussen twee punten past zo 1 lijn. Tussen drie punten kun je 3 lijnen trekken. Met vier punten vind je 6 lijnen. Voor vijf punten zijn het er 10. En hé, daar zijn de driehoeksgetallen weer.

Niet zo gek. Neem negen punten (de dag van vandaag) en begin in zomaar een punt. Je kunt nu acht lijnen naar andere punten trekken. Je volgende punt is daarna al met één ander punt (je eerste punt) verbonden, maar er zijn nog zeven andere punten om een nieuwe weg naartoe te leggen. Weer een volgende punt is met je twee eerdere punten verbonden, maar er zijn nog zes.... En zo kun je doorgaan: 8+7+6+5+4+3+2+1. Ofwel, evenveel lijnen als het achtste driehoeksgetal.

En als je ze mooi verdeelt, dan is zelfs de graaf met negen punten zwierig.