Geen kwaad woord over Aristarchus van Samos

Foto door de Amerikaanse satelliet DSCOVR van de maan die voor de aarde langsgaat, met de zon in de rug. Foto AFP/NASA/NDAA

Op Eerste Kerstdag is het midwintervollemaan en dat is het maar één keer per jaar. Wie het achter de zwaar geculineerde tafel te veel wordt heeft een goed excuus om even naar buiten te gaan.

De midwintervollemaan is de volle maan die van alle volle manen ’s nachts het hoogst aan de hemel stijgt. Ruwweg arriveert de volle maan rond 21 december op de plaats tussen de sterren waar op 21 juni de zon stond. Hier in Holland kan zij daarbij een hoogte van bijna 62 graden bereiken. Plus of min 5 graden want het vlak van de baan van de maan om de aarde maakt een hoek van 5 graden met het vlak van de baan van de aarde om de zon. Dit jaar is het min vijf, dat is dan weer jammer.

(De graden in deze context zijn gewoon de graden van de gradenboog want men stelt zich het hemelgewelf voor als een holle bol. De ‘hoogte’ van sterren en planeten wordt geteld vanaf de horizon. Een ster op de horizon heeft hoogte nul, de ster die precies recht boven het hoofd in het ‘zenit’ staat krijgt 90 graden toebedeeld. Het is met wat gepriegel met een gewone gradenboog te meten.)

Aanstaande vrijdag 18 december is het Eerste Kwartier, dan is de maanschijf vanaf de aarde bezien, precies voor de helft verlicht, met het verlichte deel – natuurlijk – aan de kant van de zon. Dus rechts. Zit het weer mee dan zijn zon en maan ’s middags urenlang tegelijk te zien en dat kan van pas komen bij de herhaling van een meting die Aristarchus van Samos 300 jaar voor Christus verrichtte.

Voor zover bekend was de Griek Aristarchus de eerste die de grootte van de maan bepaalde, in dit geval relatief ten opzichte van de aarde. Hij deed het in twee stappen. Eerst ging hij na hoeveel verder de zon van de aarde staat dan de maan en daarvoor gebruikte hij het Eerste en het Laatste Kwartier. Aristarchus stelde vast dat de hoek tussen zon, aarde en maan bijna 90 graden was als de maan precies in EK of LK stond en hij realiseerde zich dat deze hoek veel kleiner zou zijn geweest als de zon heel dicht bij de aarde had gestaan. Simpel en briljant.

Aristarchus berekende, volgens late reconstructies (Wikipedia), dat de zon 18 tot 20 keer verder van de aarde stond dan de maan. Dat, en het bekendere gegeven dat zon en maan vanaf de aarde onder dezelfde hoek worden gezien (ongeveer 0,5 graad), stelde hem in staat de maandiameter te relateren aan de breedte van de aardschaduw zoals die zich tijdens een maansverduistering manifesteert. En maansverduisteringen waren er ook toen al volop.

Aristarchus vond volgens een recente reconstructie een verhouding tussen maan- en aarddiameter van 0,35. In werkelijkheid is die 0,27. De zon staat in het echt ook veel verder weg dan Aristarchus becijferde. Hij meende dat de hoek maan-aarde-zon bij EK en LK 87 graden was, in werkelijkheid is-ie bijna 90, zoals de lezer aanstaande vrijdag zelf zou kunnen nagaan. Wie het werk van Aristarchus, just for fun, aan de hand van de vele maansverduisteringsfoto’s op internet zou willen nadoen, zou in een eerste benadering ook kunnen aannemen dat de zon oneindig ver weg staat. Dat versimpelt het werk aanzienlijk.

Maar geen kwaad woord op deze plaats over Aristarchus. Liever merken we op dat deze uitdrukkelijk de mogelijkheid openhield dat de aarde om de zon draaide en niet andersom zoals de volgelingen van Christus eeuwenlang hebben volgehouden. Archimedes heeft het met respect genoteerd.

Later, veel later, is men de afmetingen van de maan gaan afleiden uit de zogenoemde maan-parallax. De maan staat zó dicht bij ons dat zij vanuit verschillende plaatsen op aarde tussen andere sterren wordt waargenomen. Uit dit richtingverschil kan haar afstand worden berekend en daaruit weer haar diameter. Het richtingverschil tussen Amsterdam en Moskou (die over de globe gemeten 2.150 km uit elkaar liggen) is bijvoorbeeld 0,3 graad. (Aannemende dat de afstand aarde-maan, die nogal wisselt, 384.000 km is.) Komt de maan op haar wandeling tussen de sterren heel dicht bij een bekende ster dan zou je iemand in Moskou kunnen bellen om te vragen hoe het er daar uitziet. Bedenk dat de maanschijf zelf, zoals gezegd, ongeveer 0,5 graad breed is, dus die 0,3 graad is niet niets.

Meten aan de maan – het is hier al eens eerder gedaan. Maar nog niet aan de hand van de vele foto’s die Nasa’s ruimtesonde Dscovr begin augustus van maan en aarde maakte. Hoe ver stond Dscovr van ons vandaan toen hij de foto maakte? Dat is eenvoudig uit te rekenen. Op de Nasa-foto’s is de grootteverhouding tussen maan en aarde 0,37 : 1. In werkelijkheid is-ie, zoals gezegd, 0,27. Maak er een schets van en je rekent in een minuut uit dat de afstand van de sonde tot de aarde 3,7 maal de afstand aarde-maan moet zijn geweest om het zo te laten uitkomen. (Noem de afstand sonde-aarde x en de afstand maan-aarde y, dan geldt: 0,37 = 0,27x/(x-y). ) Als we voor de afstand aarde-maan (dus y) weer 384.000 km nemen vinden we voor x de waarde 1,4 miljoen km. En dat klopt goed genoeg want de sonde staat in Lagrangepunt 1 en dat ligt hier 1,5 miljoen kilometer vandaan. Wie de schets op schaal maakte, ziet meteen dat de schaduw van de maan niet op de aarde viel zoals je misschien zou denken. Dan zou er een zonsverduistering zijn geweest en die was er niet.