De munten van professor Povey

Zijn naam klinkt verzonnen. Maar professor Povey bestaat echt. Hij schreef een boek vol wis- en natuurkundepuzzels. Zoals deze.

Stel je een groot schaakbord voor. Met vakjes die 2 centimeter hoog en breed zijn. Denk er een munt bij met een diameter van 1 centimeter. Mik je het goed uit, dan passen er zo op elk vakje vier munten. Maar: je hebt er eentje.

Gooi nu die munt in gedachten op het bord. Hoe groot is dan de kans dat de munt op één vakje belandt? En niet op twee of drie vakjes tegelijk?

Je zou zo’n bord en munt kunnen maken en kunnen kijken wat er gebeurt. Maar stel: je gooit tien maal en zes keer belandt de munt op één vakje. Hoeveel zegt dat? Bij een dobbelsteen ligt soms ook zes keer achter elkaar zes boven.

Gelukkig is er een snellere oplossing.

Teken zo’n vakje met vier munten en zet een stip in het middelpunt van elke munt. Als je nu deze punten verbindt, ontstaat een vierkantje. Schuif je in gedachten één munt over en binnen de randen daarvan, dan zie je dat hij alleen op één vakje past als zijn middelpunt binnen dat vierkantje valt. Ligt zijn middelpunt daarbuiten, dan bedekt de munt altijd twee of drie vakjes.

Nu is alleen nog de vraag wat voor elk vakje de kans is dat het middelpunt van de munt in dit vierkantje valt. Tja. Het is even hoog en breed als twee keer de halve diameter van de munt: 1 bij 1 centimeter dus. Zo heeft het een oppervlak van 1x1=1 vierkante centimeter, terwijl elk vakje een oppervlak van 2x2=4 vierkante centimeter heeft.

Maar: dan beslaat zo’n vierkantje dus steeds een kwart van elk vakje. Eureka: de kans dat het middelpunt van de munt hierop valt is dan dus 1 op 4.