vormen en getallen: Bestaat het platonisch triljoenvlak?

Net als veel oude Griekse filosofen dacht Plato dat het recept voor de wereld vier ingrediënten had: aarde, water, vuur en lucht. Met een vijfde ingrediënt hadden de goden daarna de sterren aan de hemel geplakt.

Bij de vijf grondstoffen hoorden volgens Plato vijf speciale wiskundige lichamen.

‘Lichaam’ betekent hier: niet plat, maar ruimtelijk – iets wat je kunt oppakken en in je handen kunt keren.

Het speciale van de lichamen van Plato is: al hun zijvlakken zijn hetzelfde. In de kubus zijn het vierkanten. In het vier-, acht- en twintigvlak (gelijkzijdige) driehoeken. En in het twaalfvlak (regelmatige) vijfhoeken: daarover ging het vorige keer.

Nog iets: deze lichamen hebben geen deuken. Kies je twee punten in hun binnenste en verbind je die met een lijn, dan ligt ook de lijn altijd in hun binnenste. Probeer dat maar eens bij een stervormig lichaam – lukt niet.

Toch: waarom zijn het er vijf? Kun je niet met een triljoen driehoeken ofzo een platonisch triljoenvlak maken dat Plato zelf nog niet kende?

Nee, liet de oude Griekse wiskundige Euclides zien. Bekijk de hoekpunten van deze lichamen, zei hij. Daarin komen de hoekpunten van drie (platte) vierkanten of vijfhoeken of van drie, vier of vijf driehoeken bijeen. Samen zijn hun hoeken minder dan 360 graden. Dat moet. Waren ze samen wel 3600, dan lagen ze weer plat.

En juist dát (kleiner dan 3600), lukt alleen met drie vierkanten (3x900) of vijfhoeken (3 x 1080), en met drie, vier of vijf driehoeken (600 elk). Knutsel je zo platonische lichamen in elkaar, dan vind je er precies vijf. Meer niet.

Moeilijk? Ja, Euclides was slim.

    • Margriet van der Heijden