De vijftiende vlakvullende vijfhoek

Voor het eerst in 30 jaar vinden wiskundigen een nieuwe vijfhoekige tegel. De ontdekkers hopen op meer.

Voor het eerst in dertig jaar is er een vijfhoekige ‘tegel’ ontdekt waarmee een vlak naadloos gevuld kan worden. Drie wiskundigen van de University of Washington Bothell hebben daarmee de vijftiende vlakvullende vijfhoek die tot nog toe bekend is op hun naam geschreven.

Met regelmatige driehoeken of vierhoeken kun je een wand betegelen zodat het hele vlak wordt opgevuld. ‘Regelmatig’ betekent dat iedere hoek van de tegel hetzelfde is: 60 graden bij driehoeken en 90 graden bij vierhoeken. Met regelmatige vijfhoeken – vijfhoeken waarvan elke hoek 108 graden is – lukt dat niet.

De zoektocht naar vlakvullende ónregelmatige, convexe vijfhoeken begon in 1918, nadat de Duitse wiskundige Karl Reinhardt vijf van zulke vormen had gevonden. Convex betekent dat elke binnenhoek van de tegel kleiner is dan 180 graden. Als je twee punten binnen een convexe veelhoek verbindt met een lijnstuk, dan bevindt dat lijnstuk zich geheel binnen de veelhoek.

Vermoed werd dat de vijf tegels van Reinhardt de enige convexe vijfhoeken zouden zijn die het hele vlak kunnen vullen. Maar in 1968 werden er nog drie gevonden, in 1975 nog één en in de tien jaren daarna nog eens vijf. Sinds 1985 bleef het stil, tot nu dus.

De onregelmatige convexe vijfhoek van Casey Mann, Jennifer McLoud en David von Derau heeft hoeken van 60, 135, 105, 90 en 150 graden. „We ontdekten de nieuwe vijfhoekige tegel met behulp van een computer, die een grote, maar eindige verzameling van mogelijkheden afliep”, aldus Mann.

Hij en zijn twee mede-ontdekkers wagen zich niet aan een voorspelling, maar ze sluiten niet uit dat ze in de toekomst meer vijfhoeken zullen vinden. De classificatie van vijfhoeken is namelijk allerminst voltooid. Die van alle andere veelhoeken daarentegen wel: met alle driehoeken en alle vierhoeken kan het vlak worden gevuld. In 1963 werd bewezen dat er precies drie soorten vlakvullende convexe zeshoekige tegels bestaan. En convexe meer-dan-zes-hoeken die het hele vlak vullen, bestaan überhaupt niet – ook dat is bewezen.