Monsterlijke maneschijn in de nieuwe wiskunde

‘Maneschijn’: zo heten enigmatische verbanden tussen uiteenlopende takken van de wiskunde. De Monsterlijke Maneschijn was al bewezen. Onlangs volgde de Umbrale Maneschijn. Die kan inzicht bieden in de snaartheorie.

‘Een brok 22ste-eeuwse wiskunde dat per ongeluk de twintigste eeuw is binnengeslopen.” Zo omschreef de Amerikaanse wiskundige Mark Ronan het ‘Monster’ in zijn populaire boek Symmetry and the Monster uit 2006.

Het Monster is een abstract object met een duizelingwekkend aantal symmetrieën, en het bestaat in zijn eenvoudigste vorm in een ruimte met 196.883 dimensies. Eind jaren zeventig werd vermoed dat dat ding op een mysterieuze manier verband hield met een heel ander gebied van de wiskunde, dat van ‘modulaire functies’.

Dat vermoeden kreeg de bizarre – en nogal verwarrende – naam ‘monsterlijke maneschijn’. Het was belangrijk. Het hield wiskundigen ruim een decennium lang bezig, en het bewijs ervan werd in 1998 beloond met de Fieldsmedaille, de hoogste prijs in de wiskunde.

Nu is er opnieuw opwinding over een maneschijnvermoeden. Het gaat om net zo’n mysterieus verband, dat in 2012 werd ontdekt door de Amerikaanse wiskundige John Duncan en twee vakgenoten. Om in de traditie te blijven, noemden ze hun vermoeden ‘umbrale maneschijn’ – schaduwmaneschijn. Die maneschijn kan inzicht geven in het gedrag van zwarte gaten en de snaartheorie. Duncan heeft onlangs, samen met zijn collega’s Ken Ono en Michael Griffin, bewezen dat het umbrale maneschijnvermoeden juist is.

1 + 196.883 = 196.884

De maneschijnvermoedens zijn voor wiskundigen bijzonder mooi, en het is lastig uit te leggen waar ze over gaan. In de jaren zestig en zeventig van de vorige eeuw werden nieuwe zogeheten ‘sporadische symmetriegroepen’ ontdekt (zie inzet). Het gaat om groepen van objecten met onvoorstelbaar veel symmetrieën, die bestaan in hogerdimensionale ruimten.

In 1973 werd het bestaan van een extreem exemplaar gesuggereerd door de Amerikaan Robert Griess en de Duitser Bernd Fischer. Onderzoek naar dit abstracte ding leidde tot de ontdekking dat áls het echt zou bestaan, het in zijn eenvoudigste vorm pas zichtbaar wordt in een ruimte met 196.883 dimensies, en dat het niet minder dan 808.017.424.794.512.875. 886.459.904.961.710.757.005.754.368. 000.000.000 symmetrieën heeft: meer symmetrieën dan het aantal atomen in duizend aardes. Monster werd de koosnaam van dit object.

In 1978 – het Monster ging nog altijd schuil achter een wolkendek – bladerde de Brits-Canadese wiskundige John McKay in een artikel over getaltheorie toen zijn oog viel op een modulaire functie die zo begint: e–2πiz + 196.884e2πiz + 21.493.760e4πiz + ... Modulaire functies, een negentiende-eeuwse ontdekking, zijn een spil in de getaltheorie. Ze bleken cruciaal voor het bewijs van de Laatste Stelling van Fermat.

Het getal 196.884 in die functie is 1 meer dan het kleinste aantal dimensies van de ruimte waarin het Monster leeft. Het kon toeval zijn, maar McKay geloofde in een verband. Al helemaal toen naar voren kwam dat het getal 21.493.760 uit de modulaire functie gelijk is aan 1 + 196.883 + 21.296.876. En laat 21.296.876 nu net het aantal dimensies zijn van de volgende ruimte waarin het Monster zich ophoudt.

Wat bleek, is dat alle aantallen dimensies waarin het Monster beschreven kan worden, onlosmakelijk verbonden zijn met de modulaire functie. Deze relatie was volkomen onverwacht. Het leken twee dingen uit losstaande deelgebieden van de wiskunde. Waarom zou die modulaire functie het Monster kunnen temmen? ‘Monsterlijke maneschijn’ werd de naam van dit mysterieuze verschijnsel.

In een 102 pagina’s tellend artikel uit 1982 bewees Griess het bestaan van de gigantische symmetriegroep waarvan hij het bestaan negen jaar eerder had geopperd. Maar waar de maneschijn vandaan kwam dat zowel op het Monster als op de modulaire functie viel, was nog altijd een raadsel. Het monsterlijke maneschijnvermoeden werd uiteindelijk met methoden uit de mathematische fysica opgelost door Richard Borcherds. In 1998 werd hij daarvoor beloond met de Fieldsmedaille.

Umbrale maneschijn

Een met de monsterlijke maneschijn vergelijkbare lichtbundel werd in 2010 gevonden door de Japanners Tohru Eguchi, Hirosi Ooguri en Yuji Tachikawa. Ze vonden de nieuwe maneschijn op eenzelfde toevallige manier als John McKay in 1978. In plaats van de Monstergroep en modulaire functies ging het nu om de sporadische symmetriegroep M24 en ‘mock-modulaire vormen’, functies die voor het eerst werden bestudeerd door Srinivasa Ramanujan. Toen dit Indiase wiskundegenie in 1920 op 32-jarige leeftijd aan tuberculose overleed, liet hij de wereld achter met schriften vol aantekeningen, waar wiskundigen decennialang de tanden op stukbeten. Wat zijn mock-modulaire vormen? Waarvoor zijn ze belangrijk? Ramanujan gaf er geen antwoord op in zijn intuïtieve krabbels.

Pas sinds de eeuwwisseling hebben wiskundigen er langzaam grip op gekregen, vooral door het werk van de Nederlander Sander Zwegers, die in 2002 promoveerde op deze mysterieuze functies. Mock-modulaire vormen bezitten – in tegenstelling tot modulaire functies – geen speciale symmetrie-eigenschappen (mock betekent nep). Zwegers paste daar een mouw aan: als je een mock-modulaire vorm combineert met een andere functie, de zogenaamde schaduwfunctie van die mock-modulaire vorm, dan komen die symmetrie-eigenschappen wél naar voren.

De Japanse ontdekking kreeg een vervolg in 2012. Toen ontdekten John Duncan (Case Western Reserve University) met zijn vakgenoten Miranda Cheng (Universiteit van Amsterdam/ CNRS) en Jeffrey Harvey (University of Chicago) een fantastische generalisatie van de Japanse maneschijn. Het waren de schaduwfuncties van mock-modulaire vormen die onmisbaar bleken bij de ontdekking van dat uitgebreidere vermoeden. Daarom doopten Cheng, Duncan en Harvey het ‘umbrale maneschijn’ (umbra is Latijn voor schaduw).

Het umbrale maneschijnvermoeden trok de aandacht van Ken Ono van Emory, die zich al eerder had beziggehouden met Ramanujans mock-modulaire vormen. Zijn eureka-moment kreeg Ono op de set van de film The Man Who Knew Infinity, over het leven van Ramanujan. Deze film is momenteel in de maak en Ono werd gevraagd om technische aspecten uit te leggen in lekentaal. „Terwijl ik daarmee bezig was, kwam ik op een simpel argument dat wel eens de sleutel tot de oplossing van umbrale maneschijn zou kunnen zijn”, mailt Ono. Hoewel het artikel van Duncan, Griffin en Ono nog niet is gepubliceerd in een vaktijdschrift, is het al door diverse experts gelezen en juist bevonden.

Cheng is blij dat hun vermoeden uit 2012 bewezen is. Maar door de telefoon voegt ze toe: „Een technisch bewijs is nog geen verklaring. Ons vermoeden wijst naar een object dat de brug vormt tussen twee verschillende wiskundige structuren: functies en groepen. Een bewijs dat zo’n object bestaat, zegt niets over wat het is en hoe men de brug moet bouwen. De uitdaging blijft om dit raadsel op te lossen. Dat zou een belangrijke ontwikkeling kunnen betekenen in onder meer de snaartheorie, die naar een uniforme beschrijving van alle fundamentele natuurkrachten streeft.”

Aan de Universiteit van Amsterdam zal Cheng een onderzoeksgroep gaan leiden om de maneschijn in de context van snaartheorie verder te onderzoeken.