Rekenknobbels en knokkelkalenders

Franse instructie uit 1857 om met behulp van vingers of knokkels de lengte van de maanden te onthouden. Astronomie populaire (Arago)

De zwemster Kromowidjojo zwemt 100 meter in 53 seconden. Wat is haar gemiddelde zwemsnelheid in kilometer per uur?

Er is 11 mm regen per m2 gevallen. Hoeveel liter water viel er op een tuin van 9 bij 12 meter? Als een kraan 10 druppels water per minuut laat vallen is dat ongeveer 22 liter waterverlies per maand. Hoeveel waterverlies per jaar levert een kraan op waaruit elke seconde een druppel valt?

Dit is het kaliber van de vragen uit de vermaledijde rekentoets voor het voortgezet onderwijs die weldra zijn afnameperiode ingaat. De voorbeelden komen uit de voorbeeldtoets 3F (2014), zie www.cito.nl. Er zijn 52 van zulke vragen en daar mag de examinandus twee uur over doen. En wat zo leuk is: hij/zij mag er kladpapier bij gebruiken, maar ook een rekenmachine. Niet altijd, maar bijna altijd. Dat zie je dan aan een icoontje dat op een rekenmachine lijkt. Ook overigens schort het niet aan illustraties bij de toets. Zie Kromowidjojo spatten! En dan die iPhone van Nicole (die niets buiten haar bundel gebruikt).

Er is veel te doen geweest over de rekentoets, het is alweer een toer om na te gaan waaruit alle kritiek bestond, maar het eigenaardigst lijkt dat-ie aan het eind van de middelbare school wordt gegeven en dat, om onmenselijk leed te voorkomen, voorlopig de helft van de foute antwoorden wordt goed gerekend. Of zoiets, want de zaak is nog fluïde.

De buitenstaander keek even vreemd op toen hij ontdekte dat er behalve kladpapier ook een rekenmachine gebruikt mocht worden. Hij had nu juist gedacht dat het rekenen an sich getoetst zou worden, eens kijken hoe ver je komt als je niet weet hoe een staartdeling werkt, maar dat blijkt helemaal niet het geval. Nu begrijpt hij niet veel meer van die wiskundeleraren die boos zijn omdat het rekenwerk te veel in verhaaltjes is gestopt. Dat het rekentoetsrekenwerk uit redactiesommen bestaat. Aangeklede sommen! Die toetsen de leesvaardigheid, en niet de rekenvaardigheid, zeggen de leraren en dat is zwaar in het nadeel van dyslectici en leerlingen met een niet-Nederlandse achtergrond.

Een enkele wiskundeleraar heeft er nog smalend aan toegevoegd dat rekenen geen wiskunde is. De vermaarde wiskunde-didacticus Hans Freudenthal maakte daar ook graag een punt van. Goed en snel rekenen gebeurt bijna mechanisch. Juist daarom vond Freudenthal ook het gegoochel met algebraïsche formules geen wiskunde meer. Weten de leraren dat wel?

Wat maakt het uit. De kleine algebra terugvinden in de aangeklede vragen en vraagstukken van alledag, dat is een vaardigheid die een mens goed te pas komt en die je best mag toetsen als je toch per se toetsen wil. Of het nu wiskunde heet of niet. En wat dat betreft lijken de opgaven uit de rekentoets absoluut geen kwade sommetjes. Het zijn de opgaven die je vroeger tegenkwam in het toelatingsexamen van de HBS. Met alleen kladpapier.

Verwarrend is dat het wiskundeonderwijs op de middelbare scholen op hoog niveau is gebleven maar dat niet alleen het basale rekenen is weggezakt maar ook het vermogen om exacte problemen op te lossen die niet in wiskundige notatie worden aangeboden. Zie scholieren tobben met de wet van Ohm die het verband tussen spanning, stroomsterkte en weerstand uitdrukt in de formule U=I x R. I berekenen als U en R gegeven zijn, dat lukt bijna niet.

Studenten geneeskunde die in een toets de afstand moeten berekenen tussen ooglens en netvlies als gegeven is dat de lens (met het hoornvlies samen) een sterkte heeft van 58 dioptrie raken pardoes de kluts kwijt. Ze wéten dat de dioptrie het omgekeerde is van de brandpuntsafstand, ze kènnen de klassieke lenzenformule (1/f = 1/b + 1/v) maar toch loopt de machine vast.

Het soort onvermogen waaraan de rekentoets een eind moet maken is samengesteld uit afzonderlijke onvermogens waarvoor misschien alleen beroepspedagogen en -psychologen namen hebben. Dat werd nog eens duidelijk toen afgelopen week wat rekenboekjes uit de negentiende eeuw werden doorgekeken. Wat werd er toen gerekend! En vaak zelfs helemaal zonder papier. ‘Een voerman heeft zijn wagen beladen met 15 vaten bier.’ Enzovoort.

Maar dan opeens blijkt dat de getrainde hoofdrekenaars uit die tijd het niet zonder middel konden stellen ‘om spoedig te weten hoeveel dagen elke maand heeft’. Want dat konden ze met geen mogelijkheid onthouden. Het is verrassend en verbazend tegelijk, want het ‘middel’ is nog steeds populair: het gebruik van de vingerknokkels en de ruimten ertussen om de lange en korte maanden uit elkaar te houden. Het ontroerende is dat het foefje in de meest gangbare uitvoering nu nèt geen antwoord heeft op de vraag of je na de juli-knokkel opnieuw naar een knokkel moet, of juist naar een dal.

Er zijn geleerden die het knokkelgebruik rechtstreeks in verband brengen met het gecompliceerde vingerrekenen waarvoor in vroegere eeuwen zelfs de kootjes werden ingezet. Wikipedia verwijst naar een bron uit 1855 die de ‘Knuckle Mnemonic’ noemt. Maar kalm doorgooglen leverde deze week een oudere bron op: de Geneefse notaris Jean Lyonnaz besprak de knokkeltruc al in 1741 in Réduction des florins en livres de Savoïe. Het is er een soort toegift in een vademecum dat notarissen en advocaten hielp verschillende muntsoorten in elkaar om te rekenen. Niet met formules of rekenregels maar gewoon uitputtend in eindeloze tabellen. Eén florijn is 57 pond, twee florijn is 114 pond, drie florijn is 171 pond, zo ongeveer, en dat tot in de duizenden. Als dit geen troost biedt.