Doorbraak in de priemwoestijnen

Waar zitten lange rijen opeenvolgende getallen zonder priemen ertussen? We zijn iets dichter bij een antwoord.

Foto Thinkstock

„Op de lijn naar oneindig wordt de distributie van het priemgetal steeds schaarser”, schreef de vorig jaar overleden schrijver Gerrit Krol in zijn roman Rondo Veneziano (2004); „je komt in streken die men priemwoestijnen noemt. Daar groeit niet veel, zelfs geen priemgetal.”

Vorige week zetten vijf wiskundigen een artikel op de online preprintserver arXiv, met baanbrekend nieuws over zulke priemwoestijnen, rijen van opeenvolgende getallen zónder priemen. Het is weliswaar makkelijk om te bewijzen dat er priemwoestijnen van willekeurige lengte bestaan (zie inzet), maar over de lengte van de langste priemwoestijn in de verzameling getallen 1, 2, 3 tot een zekere grens x was al bijna tachtig jaar geen groot nieuws meer vernomen.

Nu wel, dankzij Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin, James Maynard en Terence Tao – de laatste, verbonden aan de universiteit van Californië, wordt gerekend tot de grootste wiskundigen van de jonge generatie. Zij hebben een ondergrens bepaald voor de lengte van de langste priemwoestijn in een verzameling getallen 1 tot en met x. De nieuwe ondergrens is een kleine verbetering ten opzichte van een grens die de wiskundigen een paar maanden eerder vonden, waarmee ze een vermoeden van de befaamde Hongaarse wiskundige Paul Erdös (1913-1996) hadden bewezen. Sinds Erdös zijn vermoeden in 1938 formuleerde was er geen substantiële vooruitgang geboekt in de theorie van priemwoestijnen. Tot nu dus.

Dat Tao en zijn collega’s geen eenvoudig vraagstuk hebben opgelost, blijkt wel uit het feit dat Erdös 10.000 dollar over had voor een oplossing. Erdös loofde wel vaker geld uit voor wiskundige oplossingen. Dit was het hoogste bedrag ooit.

Tao en collega’s hebben nu bewezen dat de lengte van de langste priemwoestijn in de verzameling getallen 1 tot en met x minimaal in de orde van grootte ligt van het getal (ln x) × (ln ln x) × (ln ln ln ln x) / (ln ln ln x). Met ln x wordt de natuurlijke logaritme van het getal x bedoeld, met ln ln x de natuurlijke logaritme van de natuurlijke logaritme van x.

De illustratie hierboven toont alle getallen tussen 360.600 en 380.600. De priemgetallen zijn rood gedrukt. De langste priemwoestijn onder de 380.000 heeft lengte 95. Wie (ln 380.600) × (ln ln 380.600) × (ln ln ln ln 380.600) / (ln ln ln 380.600) met een zakrekenmachine uitrekent, vindt echter niet iets in de orde van 95, maar –2,26: een negatief getal. Dat komt ten eerste doordat 380.000 een relatief klein getal is en ten tweede doordat de functie ln x zo tergend langzaam stijgt – logaritmisch is immers het omgekeerde van exponentieel.

De ondergrens kan ongetwijfeld verbeterd worden. Maar Terence Tao schrijft op zijn blog dat hij niet verwacht dat dat binnen afzienbare tijd gebeurt: voor hun bewijs dat deze grens juist is, hebben zijn collega’s en hijzelf de modernste technieken al van stal gehaald.