Manjul Bhargava jaagt op mooie snijpunten

Fields-winnaar Manjul Bhargava heeft al ‘tweederde bewijs’ voor een van de millenniumproblemen.

y2 = x3 -43ax + 166

Manjul Bhargava (40) – die de Canadese en de Amerikaanse nationaliteit heeft – was als peuter al dol op getallen. Op driejarige leeftijd kon zijn moeder, die wiskundeprofessor was aan Hofstra University (New York), hem alleen stil krijgen door hem grote getallen bij elkaar op te laten tellen. In een interview met NRC Handelsblad vertelde hij in 2006 een vroege herinnering: „Mijn moeder had sinaasappels gekocht. Ik ging spelen met de sinaasappels en vroeg me af hoeveel je er nodig hebt om ze in een piramidevorm van een willekeurig aantal etages te stapelen. Daar heb ik toen een formule voor afgeleid.” Bhargava leerde Sanskriet van zijn opa, de Indiase historicus Purushottam La Bhargava. Hij is ook geoefend tabla-drummer.

Op 28-jarige leeftijd werd Bhargava professor aan Princeton University. Het was net geen leeftijdsrecord.

„Als wiskundigen aan hun problemen denken, denken we niet onmiddellijk aan hun toepassingen, maar aan het nastreven van schoonheid”, zei Bhargava eens in een interview. Dat neemt niet weg dat zuivere wiskunde vaak onverwacht kan worden toegepast. Een van Bhargava’s onderzoeksgebieden betreft elliptische krommen. Die worden bijvoorbeeld gebruikt in mobiele telefoons om het versturen van de ingebouwde identificatiecode veilig te stellen.

Een elliptische kromme is een vergelijking van de vorm y2 = x3 + ax + b, waarbij a en b vastgekozen gehele getallen zijn. Voor a = –43 en b = 166 krijg je de kromme die hier rechts is is afgebeeld. Het punt (3, 8) op deze kromme is ‘mooi’, omdat x en y allebei gehele getallen zijn. Teken je de raaklijn in dit punt, dan snijdt deze lijn de kromme in nog een ander punt: (–5, 16), alweer gehele getallen. Ook in dit punt kun je weer een raaklijn tekenen, en wie dit principe voortzet, komt na zes stappen weer uit bij het uitgangspunt (3, 8). De vraag is of er een ander mooi punt op de kromme bestaat, waarbij je níet terugkomt in je beginpunt. Als dat zo is, bevat de kromme oneindig veel mooie punten.

Wiskundigen proberen al lang uit te dokteren wanneer een elliptische kromme slechts een handvol mooie punten bevat, of oneindig veel. Het woord ‘mooi’ moet dan wat ruimer worden opgevat dan zo-even: de getallen moeten rationaal zijn (een getal is rationaal als het geschreven kan worden als een breuk), niet perse geheel.

In de jaren zestig van de vorige eeuw voerden de Britse wiskundigen Bryan Birch en Peter Swinnerton-Dyer een omvangrijk, door de computer ondersteund onderzoek uit, om grip te krijgen op het gedrag van elliptische krommen. Zij vonden een criterium om uit te maken of een elliptische kromme eindig danwel oneindig veel mooie punten bevat. Maar de juistheid van hun criterium konden ze niet bewijzen en staat sindsdien bekend als het vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer (kortweg BSD-vermoeden).

In 2000 kwam dit probleem op de lijst van zeven millenniumproblemen, waarvoor het Clay Mathematics Institute in Cambridge zeven miljoen dollar reserveerde: een miljoen voor eenieder die als eerste zo’n probleem weet op te lossen.

Bhargava heeft bewezen dat het BSD-vermoeden voor ten minste 66 procent van alle elliptische krommen juist is. Als hij nu ook de overige 34 procent gaat bewijzen, maakt hij zijn nieuwe prijs waar: de Fields-medaille is een aanmoedigingsprijs.

    • Alex van den Brandhof