Priemtweelingen iets scherper in het vizier

Er bestaan oneindig veel priemgetallen: getallen die slechts deelbaar zijn door 1 en zichzelf. Al eeuwenlang is de vraag of dit ook geldt voor zogenaamde priemtweelingen. Een priemtweeling is een paar van priemgetallen die 2 van elkaar verschillen, zoals 3 en 5, of 17 en 19. Een Chinese wiskundige heeft nu tijdens een lezing een sterk bewijs gepresenteerd voor een zwakkere versie van het vermoeden van het oneindige aantal priemtweelingen.

De grootste priemtweeling die tot nog toe bekend is, is het paar 3756801695685 × 2666669 ± 1. De vraag is of priemtweelingen boven een zekere bovengrens niet meer voorkomen. Men denkt dat er geen bovengrens is, maar wiskundigen slagen er al eeuwen niet in dit vermoeden te bewijzen. Daarom hebben ze zich een bescheidener doel gesteld. Bestaan er oneindig veel priemparen die niet verder uit elkaar liggen dan een vaste, gegeven afstand?

In 2005 toonden drie wiskundigen al aan dat er oneindig veel priemparen bestaan die hooguit 16 van elkaar verschillen. Maar hun bewijs had één – kolossaal – nadeel: het leunt op andere, onbewezen stellingen. En zo’n bewijs telt niet mee in de wiskunde.

Nu heeft wiskundige Yitang Zhang van de University of New Hampshire in Durham (VS) een doorbraak bereikt. Hij heeft aangetoond dat er oneindig veel priemparen bestaan waarvan het verschil minder dan 70 miljoen bedraagt. Een reusachtig getal, maar Zhang heeft zo wel bewezen dat er überhaupt een maximaal verschil bestaat. Ongeacht hoe hoog je komt op de getallenladder, ongeacht hoe spaarzaam de priemgetallen daar zijn, altijd weer duiken priemparen op met een verschil kleiner dan 70 miljoen. Het betekent dat de gaten tussen opvolgende priemgetallen niet eeuwig kunnen blijven groeien.

Zhang heeft zijn bewijs nu aan geboden aan Annals of Mathematics en volgens de redactie van Nature zijn de referenten enthousiast – mede omdat het bewijs niet op onbewezen wiskundige vermoedens rust.

Het uiteindelijke doel blijft om te bewijzen dat er ook oneindig veel priemtweelingen zijn, die slechts 2 verschillen dus. Dat lijkt een enorme stap, van 70 miljoen naar 2. Maar het is niets vergeleken met de stap van oneindig naar 70 miljoen.

Alex van den Brandhof