Column

Mens en machine

‘De natuurwetenschappen zoeken de wetten die God heeft uitgekozen. De wiskunde zoekt de wetten waaraan zelfs God zich heeft te houden.” Dat was de korte definitie van de Fransman Jean-Pierre Serre, een van de grootste wiskundigen van de laatste zestig jaar.

Vanwaar deze grenzeloze arrogantie? Kernbegrip daarbij is wat treffend ‘de onredelijke effectiviteit van de wiskunde’ is genoemd. Keer op keer blijkt dezelfde wiskundige formule een ander deel van de wereld te kunnen vangen.

Een bekende anekdote illustreert dit verschijnsel. Een schoenenverkoper klaagt niet te weten hoeveel exemplaren van iedere maat in te moeten kopen. “Aha”, zegt de wiskundige, “dat is makkelijk. Daar is een formule voor.” En zij laat hem de normaalverdeling zien, die de variaties rondom het gemiddelde beschrijft. De schoenenman vraagt naar het symbool π in de formule. De wiskundige antwoordt: “Dat is de Griekse letter pi, de verhouding tussen de omtrek en de doorsnede van een cirkel.” Waarop de winkelier zegt: “Wat hebben cirkels met schoenen te maken?”

In de confrontatie van wiskunde en werkelijkheid ontstaan keer op keer nieuwe begrippen, of oude begrippen bewijzen opeens hun nut. De calculus van Newton en Leibniz was nodig om de mechanica van vallende appels en hemellichamen te ‘vangen’, de relativiteitstheorie van Einstein kon niet zonder gekromde ruimtes en de quantumtheorie van elementaire deeltjes maakt dankbaar gebruik van ‘imaginaire’ getallen, zoals de vierkantswortel van min één.

Deze onstuitbare mars van de mathematisering vindt plaats in twee richtingen. De eerste is de weg van de hogere abstractie. Eenvoudige begrippen als een punt of een lijn kunnen bijvoorbeeld in de getaltheorie nieuwe verschijningsvormen aannemen die voor het ongeoefende oog onherkenbaar zijn. Net zoals een laat schilderij van Piet Mondriaan op het eerste gezicht weinig van doen heeft met zijn eerdere, natuurgetrouwe landschappen.

De tweede weg leidt naar hogere complexiteit. De digitale revolutie heeft ongekend ingewikkelde systemen berekenbaar gemaakt, zoals het menselijk genoom, het klimaat of de wereldeconomie.

In vele opzichten staan deze twee richtingen loodrecht op elkaar. De ene benadering zoekt complexe eigenschappen van eenvoudige systemen, zoals de rangschikking van priemgetallen binnen de natuurlijke getallen (1, 2, 3, …). De andere bekijkt juist eenvoudige eigenschappen van complexe systemen, zoals de temperatuurstijging van het klimaat op aarde of de groei van het bbp in de economie. Maar er is geen enkele reden dat abstractie en complexiteit niet samen zouden kunnen gaan. Welke nieuwe wiskundige begrippen liggen bijvoorbeeld te wachten in de complexiteit van het leven of het brein? En wie kan dat ontdekken, laat staan begrijpen? Kan de echte wiskundige opstaan?

Enkele jaren geleden was ik bij een discussiepanel over de toekomst van de wiskunde. Ieder van de sprekers putte zich uit in clichés, totdat als laatste de flamboyante Russische meetkundige Misha Gromov het woord kreeg. Hij sprong op, liep naar het schoolbord en schreef een formule op: M(t), de mathematica M als een functie van de tijd t. Een minicollege begon. Er waren twee gemakkelijke antwoorden. Als eerste de nabije toekomst, een klein stapje voorwaarts in de tijd. Het resultaat is dan meer van hetzelfde. Ten tweede, de verre toekomst, de limiet waarin de tijd t naar oneindig neigt. Ook dan is de wereld overzichtelijk: alle wiskunde zal door computers worden gedaan. Pas echt interessant is het tussengebied, tussen mens en machine, dat we juist deze jaren betreden.

Deze observatie deed me denken aan de eerste ondubbelzinnige overwinning van de machine op de mens. In 1997 versloeg de IBM-computer Deep Blue regerend schaakkampioen Garry Kasparov. Maar toen de grootmeester werd gevraagd of dit het einde van het schaken betekende, was zijn antwoord opvallend. Volstrekt niet. Vanaf nu konden we Kasparov en Deep Blue samen aan één kant van het bord verwachten. Is de toekomst inderdaad de combinatie mens én machine?

Het lijdt geen twijfel dat computers ons helpen de grenzen van complexiteit te verleggen. Zo lanceerde de Europese Unie onlangs een miljardenproject om een digitale versie van ons brein te simuleren. Maar kunnen computers ook de abstracte vormen van wiskunde bevatten die we typisch associëren met de menselijke creatieve geest? Dat is de vraag van een programma dat nu op mijn eigen instituut in Princeton loopt, waar informatici en ‘echte’ wiskundigen samenkomen. Als oefenmateriaal is een gebied gekozen dat wel de harmonie van de sferen wordt genoemd. Hier telt men op hoeveel verschillende wijzen een hoger-dimensionele bol geprojecteerd kan worden op een bol van lagere dimensies. De eerste resultaten zijn veelbelovend. Is dit het begin van een stille revolutie?

Als u zo ver bent gekomen, dan kan ik mij voorstellen dat het u nu duizelt en u zich afvraagt wat een geïnteresseerde leek met dit alles moet. Hoe kunnen we de wiskundigen en hun computers nog volgen op hun lange weg naar hogere abstractie én hogere complexiteit? Wellicht kunt u moed putten uit de volgende woorden van niemand minder dan Sir Winston Churchill, afkomstig uit zijn biografie My Early Life (nota bene uit 1930, hij was toen 56):

‘Eens had ik een gevoel bij de wiskunde dat ik het allemaal begreep – laag na laag werd aan mij onthuld. […] Ik zag hoe een grootheid door oneindig heenging en zijn teken van plus naar min veranderde. Ik zag exact hoe het gebeurde en waarom het onvermijdelijk was. En hoe de ene stap al de andere daarin betrok. Het was net als politiek. Maar, het was na het avondeten en ik liet het gaan!’