De hoogste toppen van de wiskunde

Wiskunde Vier Nederlandse wiskundigen schreven een boek over de zeven moeilijkste bergen die er in de wiskunde te bedwingen zijn. Margriet van der Heijden

Jorgen Krielen/Lisse, 18-04-2007/Werk van Eliza Kopec«
Jorgen Krielen/Lisse, 18-04-2007/Werk van Eliza Kopec«

‘Los ze op en word miljonair!’ Die ondertitel gaven Alex van den Brandhof, Jan van de Craats, Barry Koren en Roland van der Veen aan ‘De zeven grootste raadsels van de wiskunde’.

Ironisch bedoeld, dat moet wel. Want meteen al in de inleiding van het boek schrijven de vier wiskundigen wat het allergrootste probleem van de moderne wiskunde is: ‘de gehele ideeënwereld is zo abstract dat je de grote onderzoeksvragen meestal alleen maar na een specialistische studie enigszins kunt begrijpen’.

Gelukkig schudden ze dat zorgelijke meteen weer af en schetsen ze in zeven hoofdstukken de zeven ‘millenniumproblemen’. Die problemen werden op 24 mei 2000 tijdens een congres in Parijs uitgeroepen tot de moeilijkste onopgeloste vraagstukken van de wiskunde. Dat was precies een eeuw nadat de grote wiskundige David Hilbert (1864-1942) zijn beroemde lijst presenteerde, ook in Parijs: met problemen waar wiskundigen zich volgens hem in de twintigste eeuw mee zouden moeten bezighouden.

Een verschil is dat in 2000 prijzengeld aan de problemen werd verbonden. Landon T. Clay, miljonair en oprichter van het Clay Mathematics Institute in Cambridge, Massachusetts, reserveerde daarvoor zeven miljoen dollar: een miljoen voor elk opgelost vraagstuk. En ja, die pot is nog altijd vol – zelfs al bewees de geniale Grigori Perelman in 2003 een van de problemen op het lijstje. Perelman stelde geen prijs op het miljoen van Clay voor zijn oplossing van het Poincaré-vermoeden. “Ik heb alles wat ik hebben wil”, zei de Rus die tegenwoordig als een kluizenaar in Sint-Petersburg leeft. En die in 2006 ook al voor de Fieldsmedaile (de Nobelprijs van de wiskunde) bedankte.

Ook daarom moet de ondertitel van het boek ironisch bedoeld zijn: van alle menstypen zijn wiskundigen waarschijnlijk het minst geïnteresseerd in geld en vluchtige roem. Het gaat hun om iets anders. Wiskundige problemen oplossen is als het bedwingen van bergtoppen, schrijven Van den Brandhof en collega’s. ‘Je raakt regelmatig gefrustreerd door de geringe vorderingen (...) Naarmate de tijd vordert, worden de rotswanden steiler en de lucht ijler. Hoe onbegaanbaarder het terrein, hoe minder bergbeklimmers je tegenkomt die je kunnen helpen.’

Het is zwoegen, ploeteren en ontberingen doorstaan. Plus: het risico lopen dat je helemaal faalt. Maar ‘als het je lukt de top te bereiken, is het uitzicht magnifiek.’ En dat geldt zeker voor de millenniumproblemen, want die vormen de hoogste toppen in het wiskundegebergte.

Priemgetallen

Emeritus hoogleraar Jan van de Craats beschrijft in het eerste hoofdstuk meteen de allerhoogste piek: de Riemann-hypothese. Die stond in 1900 ook al op het lijstje van David Hilbert en Hilbert voelde wel aan dat dit probleem niet snel zou worden opgelost. “Als ik wakker zou worden na duizend jaar te hebben geslapen, zou mijn eerste vraag zijn: is de Riemann-hypothese al bewezen?”, schijnt hij erover te hebben gezegd.

Zonder formules is dit lastige probleem niet goed uit te leggen. Van de Craats gebruikt er 18. Zou de beroemde fysicus en kosmoloog Stephen Hawking gelijk hebben (elke formule halveert het aantal lezers, zegt Hawking), dan zou Van de Craats van elke miljoen lezers er dus slechts vier overhouden. Maar goed, de lezers kunnen ook naar het volgende hoofdstuk springen.

Het Riemann-probleem gaat over de priemgetallen. Over de getallen dus die alleen door 1 en zichzelf deelbaar zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 enzovoorts. Sinds Euclides is al bekend dat de rij priemgetallen oneindig ver doorloopt. Maar hoe zijn de priemgetallen verdeeld over de getallenlijn? Anders gezegd: als je het (tot nu toe) grootste priemgetal kent, weet je dan waar ongeveer je de volgende priemgetallen moet zoeken?

De formidabele formule van Riemann (1826-1866) wijst daarin de weg. De ‘niet-triviale nulpunten’ van die complexe formule spelen een cruciale rol bij het tellen van opeenvolgende priemgetallen. Het vermoeden van Riemann luidt dan dat die ‘niet triviale nulpunten’ allemaal op één rechte lijn liggen, iets wat met computers voor de eerste anderhalf miljard nulpunten inderdaad is aangetoond. (In Amsterdam door Herman te Riele en collega’s.)

Abstract? Inderdaad, en volgens sommige wiskundigen schuilt daarin juist de schoonheid van hun vak. Maar het mooie, en diep raadselachtige is dat deze abstracte wiskunde ook een relatie heeft met de natuurkunde. De verdeling van de nulpunten van Riemanns ‘zètafunctie’ lijkt namelijk sprekend op de verdeling van de toegestane energieniveaus van zware atomen als uranium. Juist daarom proberen wiskundigen de Riemann-hypothese te bewijzen aan de hand van een denkbeeldig atoom. Daarin zijn de door de moderne quantummechanica toegestane energieniveaus exact de nulpunten van de zètafunctie. Riemannium heet dit tekentafelatoom.

P-versus-NP

Niet alle millenniumproblemen zijn trouwens zo abstract. Het P-versus-NP-probleem, bijvoorbeeld, is te danken aan de opkomst van computers. Het deelt rekenproblemen ruwweg in twee groepen in: problemen die je binnen afzienbare tijd kunt oplossen (polynomiale tijd, P) én problemen waarvoor de rekentijd al snel onwerkbaar lang wordt.

Het bekende handelsreizigersprobleem is zo’n onhandelbaar probleem. Hoe kun je een handelsreiziger de kortste weg langs honderd of duizend steden laten afleggen, als hij elke stad maar één keer mag bezoeken en moet terugkeren in de stad van vertrek? Dat berekenen vergt, trucs ten spijt, al heel snel miljarden jaren op de supercomputer.

Tegelijk geldt: áls iemand een oplossing aandraagt, dan is wel vlug te verifiëren of het inderdaad om de kortste route gaat. En die gekke asymmetrie – (haast) niet op te lossen, wel snel te checken – geeft deze problemen hun naam ‘NP’. In vaktermen: niet-deterministisch (de oplossing gokken mag) en polynomiaal (checken lukt daarna snel).

Wat betekent vervolgens P-versus-NP? Dat heeft te maken met een speciale groep NP-problemen die de Rus Leonid Levin en de Amerikaan Stephen Cooke ontdekten. Onafhankelijk van elkaar lieten Levin en Cooke zien dat als je voor één van deze ‘volledig NP-problemen’ een snelle oplosmethode vindt, ook alle andere volledig NP-problemen snel oplosbaar zijn. Ofwel: dan zouden deze duizenden problemen, waaronder het handelsreizigersprobleem, gewone P-problemen zijn, waarvoor we alleen de oplosmethode nog niet hebben gevonden.

Het zou, juist wegens alle toepassingen, grote maatschappelijke gevolgen hebben, schrijven Van den Brandhof en collega’s. Al kan een toekomstig genie natuurlijk ook aantonen dat voor NP-problemen juist géén snelle methodes bestaan.

En ja, zulke ingewikkelde ‘millenniumbewijzen’ zullen daarna maanden of jaren door andere wiskundigen worden gecontroleerd. Alweer: miljonair word je met dit boek dus niet. Maar het is fijn om toch wat zicht te krijgen op de contouren van de hoogste wiskundebergen.

Alex Van Den Brandhof, Roland van der Veen, Jan van de Craats en Barry Koren: De zeven grootste raadsels van de wiskunde, Uitgeverij Bert Bakker, 208 blz., €19,95.