Goed in wiskunde? Wat zijn dan de antwoorden op deze vragen?

Enkele van de opgaven van de Wiskunde Olympiade.

Wees gewaarschuwd. Het zijn niet de makkelijkste vragen. De 16-jarige Jeroen Huijben en 17-jarige Jetze Zoethout wisten afgelopen week echter vier van de zes opgaven foutloos op te lossen. Dus dat moet de gemiddelde lezer van nrc.nl ook lukken. Toch?

Of misschien ook niet. Huijben en Zoethout wonnen met de antwoorden op bovenstaande vragen namelijk goud bij de Internationale Wiskunde Olympiade in Argentinië.

De wedstrijd voor jonge wiskundige talenten vond afgelopen week plaats in het Argentijnse Mar del Plata. Het Nederlandse team bestond uit zes middelbare scholieren die de besten van het land zijn in wiskunde. Op elk van de twee wedstrijddagen kregen de leerlingen drie opgaven voor hun kiezen, waar ze 4,5 uur aan konden werken.

Het gebeurde slechts twee keer eerder van de veertig keer dat Nederland tot nog toe heeft meegedaan werd een gouden medaille gewonnen. Van de honderd deelnemende landen eindigde Nederland op de 22e plek, waarmee de Nederlandse leerlingen alle andere West-Europese landen achter zich liet. Het landenklassement werd aangevoerd door Zuid-Korea, China en de Verenigde Staten.

Benieuwd naar de juiste antwoorden? Hou de website van de Internationale Wiskunde Olympiade - en natuurlijk de comments - in gaten.

Update:

De Nederlandse teamleider Quintijn Puite geeft het antwoord op vraag 5:

Bij het maken van een plaatje van de driehoek en alle punten in de driehoek spelen twee cirkels een rol: de cirkel met middelpunt A die door het punt C gaat, en de cirkel met middelpunt B die door het punt C gaat. Op de eerste cirkel ligt namelijk het punt L omdat |AC|=|AL|, en op de tweede cirkel het punt K omdat |BC|=|BK|.

Bekijk nu |AC|de lijn door A en X, die snijdt de tweede cirkel dus in K, maar ook nog in een ander punt, zeg K’. We kunnen net zo de lijn door B en X bekijken: die snijdt de eerste cirkel in L, maar ook nog in een tweede punt, zeg L’. Met een beetje theorie (namelijk de zogenaamde machtstelling) kun je bewijzen dat de vier punten K, L, K’ en L’ op één en dezelfde cirkel liggen, wat al een bijzondere observatie is: drie punten die niet op een lijn liggen, liggen altijd op een cirkel, maar of een vierde punt er ook op ligt is altijd maar de vraag. Met nog wat vaker toepassen van diezelfde machtstelling en het gegeven dat de hoek bij C recht is, kun je nu zelfs laten zien dat de lijnen BK en Al raken aan deze nieuwe cirkel. In het bijzonder raken de lijnstukjes MK en ML dus ook, wat betekent dat ze even lang zijn. En dat moesten we bewijzen!