Botsen en oversteken

Terug naar de beschouwing over trein- en autobotsingen van vorige week. Die heeft verwarring en ongeloof gesticht.

Aan de orde kwam de vraag of de klap die een auto ondervindt als hij met een snelheid van 50 km/u frontaal botst op een zelfde type auto die hem met 50 km/u tegemoet rijdt overeenkomt met de klap die hij oploopt als hij met 100 km/u tegen een massieve muur botst. Of dat hijmet 50 km/u tegen die muur moet oprijden om dezelfde schade op te lopen.

Het juiste, maar contra-intuïtieve antwoord is dat de auto met 50 km/u tegen de muur moet oprijden om eenzelfde verkorting te krijgen. Dat is proefondervindelijk vastgesteld. Voor het op Discovery uitgezonden programma MythBusters is de proef op de som genomen.

Maar het probleem is zó contra-intuïtief dat hij bij velen, ook bij de AW-redactie, bleef knagen. Veel argumenten die door briefschrijvers ter verduidelijking zijn aangevoerd maakten de kwestie au fond alleen maar onoverzichtelijker, maar de volgende redenering is verhelderend. Als twee gelijke auto’s met massa m en snelheid v frontaal op elkaar botsen is er een totaal aan bewegingsenergie van 2 x ½mv2 die uiteindelijk ‘verdwijnt’ in materiaalvervorming (vooral in de kreukelzone) en opwarming. Omdat de auto’s gelijkvormig en even zwaar zijn en even hard reden is het aannemelijk dat elke auto apart ½mv2 opneemt. Maar bij een botsing tegen een massieve muur is er in totaal maar éénmaal ½mv2 bewegingsenergie die geabsorbeerd wordt en als de muur geen noemenswaardige vervorming ondergaat, en ook niet opwarmt, dan moet de ene auto toch weer dezelfde hoeveelheid energie opnemen.

Langs deze weg kan invoelbaar worden gemaakt dat een auto die tegen een stilstaande auto van gelijk gewicht oprijdt in principe minder schade oploopt. Want de aangereden auto vervormt ongetwijfeld ook. Hoe de verdeling precies zal zijn valt moeilijk te voorspellen. Uit ervaringen met het zogenaamde eiertikken of het uitdelen van kopstoten zou je durven afleiden dat de stilstaande auto altijd het zwaarst beschadigd raakt.

Nu naar een kwestie die een ongekend aantal lezers in beweging bracht. Op 28 april is nagedacht over de vraag welke tactiek de stuurman van een veerboot zou moeten volgen als hij zo snel mogelijk een snelstromende rivier over wil steken, zó dat hij recht aan de overkant komt. Hij kan de kortste weg kiezen, dus recht oversteken, waarvoor hij zijn boot schuin op de stroom moet houden, of hij kan een koers precies dwars over de stroom volgen en, eenmaal aan de overzijde, langs de wal tegen de stroom invaren om het afdrijven te compenseren. Of hij doet iets anders. Voor een rivier die over zijn hele breedte overal even snel stroomt ligt de zaak simpel. Daar is de kortste weg altijd de snelste. Ingewikkelder wordt het als de rivier in het midden sneller stroomt dan langs de oevers – zoals de meeste echte rivieren doen. Veel rivieren stromen langs de oevers helemaal niet. Om eens te kijken hoe de kansen lagen bij dit soort rivieren was aangenomen dat het stromingsprofiel parabolisch zou zijn. Dat is het eenvoudigste model dat zich aandient. De formule luidt: y = -ax2 + b.

Om het wat concreter te maken was de veerboot die de verbinding tussen Tiel en Wamel onderhoudt als voorbeeld gekozen. Bij nader inzien nogal ongelukkig omdat de Waal vlak voor Tiel een scherpe bocht maakt wat tot gevolg heeft dat de rivier bij de stad zelf een sterk afwijkend stromingspatroon heeft, waarin zelfs tegenstroming optreedt. Ook zien de aanlegplaatsen waar de veerboot Hendrikus bij haar heen-en-weer steeds afmeert er in werkelijkheid anders uit dan het schetsje in deze krant liet zien en zijn er in werkelijkheid ook kribben. En natuurlijk is het stromingsprofiel in de Waal niet echt parabolisch. Bij Tiel niet en nergens niet. Voor het werkelijke profiel is een empirische formule opgesteld waarin een 8ste macht voorkomt, bericht een lezer.

Maar wiskundig gezien was het probleem met die parabool al ingewikkeld genoeg. Zelfs voor een boot die recht zou oversteken, dus via de kortste weg, was niet zomaar de reistijd te berekenen. De zuiver analytische aanpak ging de AW-macht te boven. Daarom werd gekozen voor een grove benadering waarin de rivier (die 300 meter breed is) werd verdeeld in 10 segmenten van 30 meter breed waarbinnen de stroomsnelheid constant werd verondersteld maar waartussen de snelheden parabolisch verliepen. Later is dat ook gedaan voor de tactiek waarbij de stuurman steeds precies haaks op de stroming stuurt. De AW-aanpak leidde tot het vermoeden dat ook bij een parabolisch stromingsprofiel de kortste weg de snelste zou zijn.

Of het echt zo was moest onbeantwoord blijven. Veel lezers zijn te hulp geschoten, maar een deel koos gemakshalve een stromingsprofiel dat sterk afweek van de parabool. De aankomende ingenieur Ad de Jong, de Maastrichtse hoogleraar Antoon Pelsser en de Leidse emeritus-hoogleraren Hans van Leeuwen en Henk Blöte kwamen met exacte oplossingen. De Leidse oplossing staat hier in de grafiek. Hij toont de optimale (snelste) route van een veerboot die een rivier met parabolisch stromingsprofiel oversteekt voor vier maximale stroomsnelheden. (De boot zelf vaart constant met 3,33 m/s). In de getoonde formule is ϕ de hoek van de veerboot t.o.v. de x-richting. De letter v is de veerbootsnelheid, de w de maximale watersnelheid, de L de breedte van de rivier (300 m). De M is een constante (Lagrange vermenigvuldiger) die 0,54 is als w = 2,22 m/s. Met het gegeven verband is de optimale route te vinden.

De snelste weg is dus S-vormig! Alweer een contra-intuïtief resultaat. Dat brengt ons spelenderwijs bij een vreemde uitspraak in de AW van 21 april. Daar werd, in navolging van de voedingswaardetabel, beweerd dat er langer gewandeld dan gefietst moet worden om de inname van een gevulde koek te neutraliseren. Terwijl toch bekend is dat wandelen meer energie kost dan fietsen. Was dit ook contra-intuïtief? Nee, het was een flauw grapje. Hier werd gerommeld met de dimensies tijd en afstand. Als een fietser per afgelegde weg maar half zoveel energie verbruikt als een wandelaar, maar drie keer zo snel vooruit komt dan verstookt de wandelaar per uur maar 66 procent van de energie die de fietser verstookt.